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Umkehrfunktionen zu "ungeraden" Polynomen

Universität / Fachhochschule

Tags: polynom, Umkehrfunktion, ungeraden

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13:28 Uhr, 11.01.2016

Ich möchte nicht die Diskussion über die Zulässigkeit negativer Radikanden erneuern. Aber unter der Annahme von

D = ℝ

und

W = ℝ

habe ich trotzdem ein generelles Problem damit, wie man den "eigentlich unzulässigen" Bereich einer "ungeraden" Wurzelfunktion handhabt. Vielleicht hat jemand Lust, mit mir die Lösungsschritte am folgenden einfachen Beispiel zu erarbeiten:

y = f (x) = 1 + 2 x^{3}

. .

x =

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Umkehrfunktion

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13:48 Uhr, 11.01.2016

Wer hat Dir gesagt, dass man ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen nicht ziehen darf?
Da

x \to x^{2 n + 1}

bijektiv ist, existiert auch die Umkehrfunktion dazu:

x \to \sqrt[2 n + 1]{x} = x^{\frac{1}{2 n + 1}}

, dafiniert auf ganz

ℝ

.

In Deinem Fall ist die Umkehfunktion von

x \to 1 + 2 x^{3}

die Funktion

x \to = \sqrt[3]{\frac{x - 1}{2}}

, definiert auf der ganzen Achse.

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15:59 Uhr, 11.01.2016

Mehrere Quellen sagen übereinstimmend, dass bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen unterschiedliche folgende Positionen vertreten werden:

Möglichkeit 1: Wurzeln aus negativen Zahlen sind generell „verboten“. Beispielsweise ist

\sqrt[3]{- 8}

also undefiniert. Die Lösung der Gleichung

x^{3} = - 8

wird geschrieben als

x = - \sqrt[3]{8}

.

Möglichkeit 2: Wurzeln aus negativen Zahlen sind erlaubt, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist.

Das DIN und der überwiegende Teil der amerikanischen Schulbuchliteratur arbeitet übrigens grundsätzlich nur mit Möglichkeit 1. Aber ich wollte mich ja über dieses Verbot hinwegsetzen ;-)

Dann habe ich aber mit Deiner (übrigens auch meiner) Lösung für die Umkehrfunktion trotzdem Probleme, den Funktionswert

f^{- 1}

für

z . B

x = - 1

auszurechnen

. .

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16:03 Uhr, 11.01.2016

Ich würde Schulbücher hier nicht als eine ernste Quelle betrachten, denn Schulmathematik ist keine Mathematik. :-) Besonders amerikanische Schulmathematik.

Bei

x = - 1

hast Du

\sqrt[3]{\frac{- 1 - 1}{2}} = \sqrt[3]{- 1} = - 1

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16:16 Uhr, 11.01.2016

So seh ich das auch und bei einfachen Argumenten ist das ja auch noch überschaubar. Mein Taschenrechner bietet mir aber bereits hier (also für

f^{- 1} (- 1))

als Lösung nur noch komplexe Zahlen an (was aber nicht gewollt war)

: - (

Das einzige in

ℝ

"rechenbare", was ich finde ist:

f^{- 1} (x) = - \sqrt[3]{\frac{1}{2} (1 - x)} \forall x < 1

aber ich finde einfach nicht den Weg dorthin

: - (

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16:24 Uhr, 11.01.2016

Irgendwie machst Du das zu kompliziert.

\sqrt[3]{\frac{x - 1}{2}} = \sqrt[3]{- \frac{1 - x}{2}} = - \sqrt[3]{\frac{1 - x}{2}}

, und dass man das machen darf, folgt daraus, dass

(- x)^{3} = - x^{3}

, also ist

x \to x^{3}

eine ungerade Funktion und deshalb auch ihre Umkehrfunktion ist ungerade:

\sqrt[3]{- x} = - \sqrt[3]{x}

abakus

16:31 Uhr, 11.01.2016

Hallo DrB.,
die von dir angesprochene Bijektion und die (je nach Standpunkt mögliche) Nicht-Definiertheit von Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht unvereinbar.
Das bekommt man mit abschnittsweise definierten Wurzelfunktionen sauber hin.

Die Verrenkungen, die man dabei machen muss sind nicht größer als jene, mit denen man erklären muss, dass anderenfalls

x^{1 / 3}

und

x^{2 / 6}

nicht generell das Gleiche ist.

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16:33 Uhr, 11.01.2016

Wie gesagt: Diese Diskussion wollte ich hier nicht unbedingt neu befeuern. Dr.B macht es sich zwar manchmal "sehr" einfach, aber widersprechen kann ich ihm mit seiner Lösung nicht :-)

Bummerang

16:38 Uhr, 11.01.2016

Hallo,

egal aus welchen Quellen Du die Information hast, dass die 1. Möglichkeit mehrheitlich genommen wird und egal wie man zu diesen Quellen steht: Wenn man Wurzeln aus negativen Radikanten zulässt, bekommt man über Kurz oder Lang Probleme mit der Allgemeingültigkeit der Potenzgesetze:

1 = \sqrt[6]{1} = 1^{\frac{1}{6}} = {({(- 1)}^{2})}^{\frac{1}{6}} = {(- 1)}^{2 \cdot \frac{1}{6}} = {(- 1)}^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{- 1} = - 1

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16:52 Uhr, 11.01.2016

Die Frage ist nur, warum soll man denn überhaupt über Potenzgesetze reden, wenn es zuerst mal nur um die Umkehrfunktion geht? Die Umkehrfunktion zu

x \ t o x^{3}

existiert auf der ganzen Achse, also warum soll man denn diese Existenz verbieten? Was sowieso nicht möglich ist. Und es ist üblich, diese Umkehrfunktion als

\sqrt[3]{x}

zu bezeichen. Was zuerst mal auch keine Potenz ist, sondern nur eine Bezeichnung für eine bestimmte Umkehrfunktion. An der Stelle ist die Geschichte mit der Umkehrfunktion eigentlich abgeschlossen, noch bevor irgendwelche Potenzgesetze überhaupt aufgetaucht sind.

Bummerang

17:01 Uhr, 11.01.2016

Hallo,

"Die Frage ist nur, warum soll man denn überhaupt über Potenzgesetze reden, wenn es zuerst mal nur um die Umkehrfunktion geht?"

Man muss nicht an dieser Stelle über Potenzgesetze reden, das hat niemand behauptet! Aber, und genau das hatte ich gesagt: Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen an dieser Stelle zulässt, wird man früher oder später Probleme mit der Allgemeingültigkeit der Potenzgesetze bekommen! Will man diese Probleme vermeiden und will man die Gültigkeit der Potenzgesetze nicht unnötig einschränken, muss man an dieser Stelle eben mit etwas weiser Voraussicht auf negative Radikanten verzichten!

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