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Urbild abgeschlossener Menge ist abgeschlossen
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Maßtheorie
Tags: Abgeschlossenheit, Funktion, Maßtheorie, Stetige Funktionen, Umkehrfunktion, urbild
 
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Hallo, Sei zu beweisen, dass abgeschlossen ist. aus . Ich wäre so vorgegangen: Sei dann ist stetig. -unendlich und da -unendlich,1] abgeschlossen ist und das Urbild abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist, ist abgeschlossen. Allerdings ist und somit nur auf 0,unendlich[ definiert. Ich weiß nicht, wie ich das korrekt formuliere.. Wäre dankbar, wenn mir jemand helfen könnte! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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ist nicht abgeschlossen. Wähle stattdessen das abgeschlossene Intervall . Das Urbild bezüglich deiner Abbildung deckt genau die Menge Q ab. Das kannst du machen weil in den reellen Zahlen nicht negativ sein kann. Die Funktion ist nicht umkehrbar. D.h. dein Argument mit der Wurzelfunktion funktioniert nicht. Die Umkehrfunktion muss aber nicht existieren, damit das Urbild existiert |
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ich meine -unendlich,1] ist abgeschlossen, da sowohl abgeschlossen, als auch offen ist. Eine Menge ist abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist und da unendlich offen ist folgt die Behauptung. |
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Wie wäre es denn einfach mit konkret ausrechnen? Es ist und damit ein abgeschlossenes Intervall. |
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ja, natürlich geht ausrechnen auch, bzw. man kann ja eigentlich schon sehen, dass das ein abgeschlossenes Intervall ist. ich hätte dazu sagen sollen, dass es mir darum geht die Beweismethode mit der Umkehrfunktion anhand eines einfachen Beispiels nachzuvollziehen. |
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"Wie wäre es denn einfach mit konkret ausrechnen? " Ich hatte vermutet, dass die Aufgabe es erfordert dies über stetige Funktionen zu zeigen "Eine Menge ist abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist ..." Ja stimmt, aber trotzdem finde ich kann man besser das abgeschlossene Intervall von 0 bis 1 verwenden. |
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Gut, machen wir es mal interessanter: Sei ein beliebige stetige reelle Funktion (in deinem Fall ) und wir betrachten die Menge . Bei einer stetigen Funktion (wie eine ist) sind die Urbilder offener Mengen auch wieder offen. So ist die Stetigkeit für Abbildungen zwischen Topologischen Räumen sogar definiert! Damit ist ist auch offen, und somit selbst abgeschlossen. |
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Eventuell nochmal für -sun- In diesem topologischen Zusammenhang bezeichnet das Urbild der Menge A unter es ist nicht (unbedingt) die Existenz eine Inversen von gemeint. |
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okay, vielen Dank schon mal. Die Lösung von Hal9000 kann ich sehr gut nachvollziehen. @pwmeyer:-D)ann könnte ich mit phi^-1:(-unendlich, als Urbild von den Beweis auch so formulieren, wie ich es in der Frage am Anfang getan habe? Nur darf ich dabei nicht als Inverse bezeichnen, weil die Inverse auf dem Intervall nicht existiert, sondern als Urbild? |
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> auch so formulieren, wie ich es in der Frage am Anfang getan habe? Nur darf ich dabei nicht als Inverse bezeichnen, weil die Inverse auf dem Intervall nicht existiert, sondern als Urbild? Nun, in dem Fall darfst du aber nicht mit argumentieren, weil das schlicht falsch ist. Noch nicht mal die Definitionsmenge stimmt, denn zu gehört eine Urbild-Abbildung , wobei hier mit die Potenzmenge gemeint ist! |
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Wäre das dann so in Ordnung: Sei zu beweisen, dass abgeschlossen ist. aus . Sei dann ist stetig. Das Urbild von ist ^(−1) -unendlich und da -unendlich,1] abgeschlossen ist und das Urbild abgeschlossener Mengen unter einer stetigen Funktion wieder abgeschlossen ist, ist abgeschlossen. Danke. |
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Hallo, das wäre in Ordnung. Gruß pwm |
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Danke! |
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