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Vektoren Flächeninhalt berechnen

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Sonstiges

Tags: Flächeninhalt, Vektor

Veletreax aktiv_icon

17:01 Uhr, 24.11.2021

Hallo zusammen,
könnte mir einer bei folgender Aufgabe weiterhelfen?

Gegeben sind die Vektoren a mit der Länge 7 und b mit der Länge 6.
Die vektoren schließen einen Winkel Alpha = 150 Grad ein.
Gesucht: Fläche des Dreiecks das durch die Vektoren b und -3a+b aufgespannt wird.

Ich weiß dass man den Flächeninhalt so ausrechnet: 1/2* |a| * |b| * sin (150)
Ich verstehe halt diesen letzten Abschnitt der Frage nicht : „ Vektoren b und -3a+b aufgespannt wird“
Ändert das was an der Rechnung ?

Vielen Dank an alle die weiterhelfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

10:39 Uhr, 25.11.2021

Hallo,

Du kannst Dir doch eine Skizze machen: Zeichne einen Vektor

b,

dann einen Vektor a mit der passenden Länge und dem Winkel von

150

b

.

Dann zeichnest Du den Vektor

b - 3 a

und siehst, dass ein neues Dreieck entsteht.

Aus der Skizze kannst Du die nötigen Daten bestimmen, um die Fläche des neuen Dreiecks zu berechnen.

Oder bearbeitet Ihr solche Fragen mit Vektorrechnung (Produkte)?

Gruß pwm

Respon

12:11 Uhr, 25.11.2021

sei

\vec{a} = (\begin{matrix} 7 \\ 0 \end{matrix})

\vec{b}

elementargeometrisch bestimmen ( rechtwinkeliges Dreieck mit 30° )
x-Komponente

- 6 \cdot

cos(30°)

= - 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = - 3 \cdot \sqrt{3}

y-Komponente

6 \cdot sin

(30°)=

6 \cdot \frac{1}{2} = 3

\vec{b} = (\begin{matrix} - 3 \cdot \sqrt{3} \\ 3 \end{matrix})

Dreiecksfläche bestimmen mittels Kreuzprodukt

(ℝ^{3})

Sei

\vec{a'} = (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und

\vec{b'} = (\begin{matrix} - 3 \cdot \sqrt{3} \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{b'} x (\vec{b'} - 3 \cdot \vec{a'}) | = \frac{1}{2} \cdot | \vec{b'} x \vec{b'} - 3 \cdot \vec{b'} x \vec{a'} | = \frac{3}{2} \cdot | \vec{a'} x \vec{b'} | = \frac{3}{2} \cdot | (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) x (\begin{matrix} - 3 \cdot \sqrt{3} \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) | = \frac{3}{2} \cdot 21 = 31,5

Oder mittels Formel
Die zwei Vektoren

(\begin{matrix} r \\ s \end{matrix})

und

(\begin{matrix} t \\ u \end{matrix})

spannen ein Dreieck auf, dessen Flächeninhalt sich bestimmen läßt mit

A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot | r \cdot u - s \cdot t |

\vec{b} - 3 \cdot \vec{a}

explizit bestimmen.

\vec{b} - 3 \cdot \vec{a} = (\begin{matrix} - 3 \cdot \sqrt{3} - 21 \\ 3 \end{matrix})

\Rightarrow

A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot | (- 3 \cdot \sqrt{3} - 21) \cdot 3 - 3 \cdot (- 3 \cdot \sqrt{3}) | = \frac{1}{2} \cdot | - 63 | = 31,5

Veletreax aktiv_icon

14:55 Uhr, 25.11.2021

Erst mal vielen Dank für diesen ausführlichen Rechenweg!
Ich habe nur nicht ganz verstanden wie aus
1/2 |bxb-3*bxa| Zu 3/2 |axb| wurde
Gibt es außerdem eine andere Möglichkeit den Vektor b zu bestimmen, weil wir das so noch nicht gemacht haben (Also den ersten Schritt)
Vielen Dank!

Respon

20:23 Uhr, 25.11.2021

Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt 0.

"Gibt es außerdem eine andere Möglichkeit den Vektor

b

zu bestimmen, weil wir das so noch nicht gemacht haben."
Wie habt ihr es denn immer gemacht ?

Man könnte

\vec{a}

mit der Drehmatrix

(\begin{matrix} cos (φ) & - sin (φ) \\ sin (φ) & cos (φ) \end{matrix}),

hier also für

φ =

150° die Matrix

(\begin{matrix} - \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix})

drehen und dann auf den Betrag 6 stutzen.

\vec{\bar{a}} = (\begin{matrix} - \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{7}{2} \end{matrix}) \Rightarrow \vec{b} = \frac{(\begin{matrix} - 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{7}{2} \end{matrix})}{7} \cdot 6 = (\begin{matrix} - 3 \cdot \sqrt{3} \\ 3 \end{matrix})

Aber

. .

.
Auch ohne komplizierter Vektorrechnung läßt sich der gesuchte Flächeninhalt leicht bestimmen.
Die Höhe des Parallelograms läßt sich bestimmen mit

h = 6 \cdot sin

(30°)

= 6 \cdot \frac{1}{2} = 3

Der Flächeninhalt des linksliegenden Parallogramms ist daher

A = 21 \cdot 3 = 63,

die des gesuchten Dreiecks daher

A_{Δ} = \frac{63}{2} = 31,5

1545599

1545453

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