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Vektoren - Stufe 12 - Lage dreier Geraden

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Drei, Gerade, Lagebeziehung, Vektor

Onurs aktiv_icon

19:45 Uhr, 09.06.2010

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe (unten angehängt)

Ich soll also die Lage der drei Geraden überprüfen. Im Unterricht haben wir bisher nur die Lagen von Vektoren uns angeschaut (parallel oder Schnittpunkte) also keine windschiefen Vektoren bzw. Geraden. Ebenfalls haben wir uns keine Ebenen angeschaut (nur zur Info halt)

Ich weiß zwar wie man die Parallelität von Vektoren überprüft, jedoch nicht von den hier angegeben Geraden. Ich würde mich zumindest über einen Lösungsansatz freuen.

Danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Ebene - Ebene
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lagebeziehung Gerade - Gerade

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

IQ145 aktiv_icon

08:31 Uhr, 10.06.2010

Hallo Onur,

Vektoren sind nichts anderes wie Geraden, nur in einer anderen Schreibweise. Alle Ortsvektoren sind Geraden durch den Ursprung. Die drei Vektorgleichungen lassen sich
einfach umformen und dann wie normale Geradengleichungen untersuchen.
Die Klammern stehen für Vekoren mit den Werten

x

und

y .

Der Ortsvektor

(5 | 4)

steht für

x = 5

und

y = 4 .

der Richtungsvektor

(3 | 2)

hat die Werte

x = 3

und

y = 2

und einen Skalar

k .

Der Vektor

x

kann Du auch schreiben als Klammerausdruck

x = (x | y)

Die dritte Gerade lautet dann

x \cdot 5 + y \cdot 4 = 0

oder

y = 1,25 \cdot x

Onurs aktiv_icon

12:39 Uhr, 10.06.2010

Gut ich habe jetzt die erste Parametergleichung in die allgemeine Normalform umgewandelt: nun sieht das bei mir folgendermaßen aus:

g : x 1 - 1,5 x 2 - 1 = 0

h : - 4 x 1 + 5 x 2 + 2 = 0

i : 5 x 1 + 4 x 2 = 0

Das sind meine drei Geraden,wie könnte ich nun die Lagebeziehungen prüfen?

P . S :

Deinen Vorschlag find ich zwar okay, jedoch bin ich jetzt weiter und muss nur noch wissen wie ich weitermache. Danke :-)

BjBot aktiv_icon

14:33 Uhr, 10.06.2010

"Vektoren sind nichts anderes wie Geraden, nur in einer anderen Schreibweise. Alle Ortsvektoren sind Geraden durch den Ursprung."

Das hier bitte nicht merken, das ist Unsinn. Vektoren und Geraden sind sicherlich NICHT dasselbe.
Vektoren haben eine endliche Länge, Geraden nicht - das wäre schonmal der Hauptunterschied.

Zur Lageuntersuchung:

Ich weiss nicht wie weit ihr im Unterricht vorangeschritten seid mit Vektorrechnung aber ganz elementar geht es natürlich wenn du jede Gleichung nach x2 umformst, denn dann hast du die Form y=mx+b, in der du überall direkt die Steigung m ablesen kannst.
Zudem könnte es auch noch interessant sein nach Orthogonalität Ausschau zu halten, denn auch das wird aus den Steigungen ersichtlich.

Übrigens muss es bei g nicht -1 sondern +1 heißen.

ahmedhos aktiv_icon

14:34 Uhr, 10.06.2010

Vektoren sind nicht Geraden. Ein Vektor ist die Gesamtheit aller Pfeile gegebner Richtung, Länge und Orientierung, aber lassen wir mal die Definitionen beiseite.

g : \vec{x} = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) + k \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})

\Leftrightarrow

x = 5 + 3 \cdot k | \cdot - \frac{2}{3} \Rightarrow - \frac{2}{3} \cdot x = - \frac{10}{3} - 2 \cdot k

II)

y = 4 + 2 \cdot k

Addiere beide Gleichung I)

+

II):

\Rightarrow y - \frac{2}{3} \cdot x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow y = \frac{2}{3} \cdot x + \frac{2}{3}

g

ist in der sogenannten Parameterform einer Geraden angegeben.

\vec{v_{g}} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})

ist der Richtungsvektor von

g

.
http//de.wikipedia.org/wiki/Geradengleichung#Parameterform_.28Punktrichtungsform.29

Diese Form von

g : y = \frac{2}{3} \cdot x + \frac{2}{3}

heißt Koordinatenform von

g

h : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix}) + 2 = 0 \Leftrightarrow (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix}) + 2 = 0 \Leftrightarrow - 4 \cdot x + 5 \cdot y + 2 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{4}{5} \cdot x - \frac{2}{5}

h

ist in der sogenannten Normalenform einer Geraden angegeben.

\vec{n_{h}} = (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix})

ist der Normalenvektor von

h

.
http//de.wikipedia.org/wiki/Geradengleichung#Normalform
Diese Form von

h

y = \frac{4}{5} \cdot x - \frac{2}{5}

") heißt Koordinatenform.
http//de.wikipedia.org/wiki/Geradengleichung#Lineare_Funktionen
Der Normalenvektor

\vec{n_{h}}

von

h

ist ein Vektor, der senkrecht auf

h

steht.

Diese zwei Geraden

g

und

h

können 2 verschiedene Lagen zueinander haben. Nicht mehr und nicht weniger. Die Geraden sind parallel oder schneiden sich. Das ist immer der Fall in der Ebene.

Falls

g

und

h

parallel sind, dann steht

\vec{v_{g}} ⊥ \vec{n_{h}}

(Kannst du dir mit einer kleinen Skizze klar machen)

Falls

\vec{v_{g}} ⊥ \vec{n_{h}},

dann ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren = 90°.

Falls der Winkel zwischen den beiden Vektoren = 90°, dann muß das Skalarprodukt der beiden Vektoren verschwinden, dan

cos (\frac{π}{2}) = 0

ist.

Versuchen wir es

\vec{v_{g}} \cdot \vec{n_{h}} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 5 \end{matrix}) = - 12 + 10 = - 2 \neq 0

Da das Skalarprodukt keinen Null ergibt, dann stehen die beiden Vektoren

\vec{v_{g}} \cdot \vec{n_{h}}

nicht senkrecht aufeinander.

Somit sind die beiden Geraden nicht parallel. Sie müßen sich also schneiden.

Genau das tun sie auch und zwar schneiden Sie sich im Punkt

P (6,8)

Den Rest kannst du locker! ;-)

Also, hoffentlich hilft das.

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