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Wann ist das Dreieck rechtwinkelig?

Schüler

Tags: Dreieck, Eckpunkt, Rechtwinklig, Variable

anonymous

19:50 Uhr, 29.11.2010

Hallo,

folgende Aufgabe:

A(- $(\sqrt{3 t} | \frac{t}{3}), B (\sqrt{3 t} | \frac{t}{3}) u n d C (0 | t)$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks.

Für welchen Wert von t (t>0) ist das Dreieck rechtwinklig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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19:55 Uhr, 29.11.2010

Berechne die Steigerungen der 3 Geraden. Wenn die 2 Steigerungen mit enander multipliziert

- 1

ergibt, dann ist das Dreieck rechwinklig.

m 1 \cdot m 2 = - 1

anonymous

20:26 Uhr, 29.11.2010

ok, aber wie geht das mit der variablen t?

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20:33 Uhr, 29.11.2010

du rechnest mit

t

als ob es eine Zahl wäre die Steigerungen aus. Setzt 2 Steigerungen in die Formel

m 1 \cdot m 2 = - 1

ein und löst nach

t

auf.
ISt es so weit klar?

anonymous

20:43 Uhr, 29.11.2010

kannst du mir kurz erklären, wie ich sie steigung ausrechne?
mit dem subtraktionsverfahren klappt das nicht wirklich.

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20:48 Uhr, 29.11.2010

Nur zur Sicherheit, heisst der erste Punkt

A (- \sqrt{3 t} | \frac{t}{3})

Ich frage wegen dem Minus, es ist nicht ganz deutlich

anonymous

20:54 Uhr, 29.11.2010

das ist richtig.
das minus vor dem wurzelzeichen :-)

ogeca aktiv_icon

21:15 Uhr, 29.11.2010

Wenn du das Dreieck einzeichnest (eine Skizze reicht) dann siehst du, dass die Punkte A und

B

auf nebeneinander liegen. Die Steigung dieser Gerade ist Null. Wahrscheinlich bist du deshalb auf kein Ergebnis gekommen. Du musst die Steigung der Gerade, die durch A und

C

geht und eine, die durch

B

und

C

geht.

Beispiel Gerade durch A und

C :

f (0) = a \cdot 0 + b = t

f (- \sqrt{3 t}) = - \sqrt{3 t} \cdot a + t = \frac{t}{3} | - t

\to - \sqrt{3 t} \cdot a = - \frac{2}{3} t | : (- \sqrt{3 t})

\to a = \frac{2 \cdot t}{3 \cdot \sqrt{3 t}} = \frac{2 \cdot t \cdot \sqrt{3 t}}{3 \cdot \sqrt{3 t} \cdot \sqrt{3 t}} = \frac{2 \cdot t \cdot \sqrt{3 t}}{3 \cdot 3 t} = \frac{2 \cdot \sqrt{3 t}}{9}

Bei Gerade durch

B

und

C

ist die Rechnung praktisch gleich, nur das Vorzeichen ist andres.

a = - \frac{2 \cdot \sqrt{3 t}}{9}

\frac{2 \cdot \sqrt{3 t}}{9} \cdot (- \frac{2 \cdot \sqrt{3 t}}{9}) = - 1

\frac{4}{81} \cdot 3 t = 1

\frac{4 t}{27} = 1

4 t = 27

t = \frac{27}{4}

anonymous

21:29 Uhr, 29.11.2010

danke, ich hänge noch ganz oben fest.
wie kommst du auf die 2 drittel??
kannst du die rechnung oben nochmal anders erklären?
danke

ogeca aktiv_icon

21:36 Uhr, 29.11.2010

\frac{t}{3} - t = (\frac{1}{3} - \frac{3}{3}) t = - \frac{2}{3} t

anonymous

21:41 Uhr, 29.11.2010

ich hab mich undeutlich ausgedrückt:
die grundform ist ja

f (x) = m \cdot x + b

also für punkt

a :

f(-wurzel3)=m*(-wurzel3)+t
warum schreibst du für

b

dann

\frac{t}{3}

ogeca aktiv_icon

21:51 Uhr, 29.11.2010

Sorry ich verstehe nicht genau, was dir nicht klar ist.

Genau

b = t,

das habe ich der nächsten Zeile eingesetzt und die Gleichung gleich

\frac{t}{3}

gesetzt (y-Wert).

Habe ich deine Frage beantwortet?

anonymous

21:52 Uhr, 29.11.2010

noch nicht ganz.

hast du in der zweiten zeile nicht y-wert für

b

eingesetzt?

anonymous

21:54 Uhr, 29.11.2010

sorry, ich stand auf dem schlauch.

jetzt sehe ich erst, dass du das andersrum geschrieben hast.
danke dir ;-)

ogeca aktiv_icon

21:58 Uhr, 29.11.2010

gut, ich dachte schon. Bitte ;-)

anonymous

22:03 Uhr, 29.11.2010

hast du bei der rechnung mit der wurzel aus

3 t

erweitert, damit die wurzel im zähler ist?

warum muss man das machen?

ogeca aktiv_icon

22:10 Uhr, 29.11.2010

Ja genau, das heisst rationalisieren. Es darf keine Wurzel im Nenner stehen. Was der genaue Grund ist, weiss ich nicht mehr, frag das am besten deinen Lehrer.
In diesem Beispiel wäre es wahrscheinlich in Ordnung, wenn man die Wurzel im Nenner lässt, da du damit weiter rechnest.

Falls es sich um ein Ergebnis handelt, würde ich auf jeden Fall rationalisieren. Es könnte sein, dass du sonst in der Arbeit etwas abgezogen bekommst.

DmitriJakov aktiv_icon

22:11 Uhr, 29.11.2010

Ich dachte zuerst, dass bei Punkt A beide Koordinaten negativ sind. Ist es aber so, dass A und

B

beide

\frac{1}{3}

über der y-Achse liegen und

C

mittig darüber, dann kann eine einfacher Pythagoras helfen.

Es ergibt sich ein Doppeldreieck links und rechts der y-Achse. Die eine Kathete ist

\frac{2}{3} t,

die andere

\sqrt{3}

. Die Hypotenuse des Dreiecks ist wiederum eine Kathete des gleichschenkligen Dreiecks ABC ist, dessen Hypothenuse

2 \cdot \sqrt{3}

beträgt.

Dies ergibt eine Gleichung, die für ein bestimmtes

t

erfüllt ist, und zwar dann, denn

t

das Dreieck ABC zu einem rechtwinkligen macht.

Nur so eine Nebenüberlegung. Wollt euch nicht stören.

anonymous

22:16 Uhr, 29.11.2010

erstmal danke dimitri.

bei der rechnung ist glaube ich noch ein fehler:
du rechnest

\frac{4}{81} \cdot 3 t = 1

dann hast du aber was mit

\frac{27}{4}

raus.

aber du musst ja im zähler

4 \cdot 3 t

und im nenner

81 \cdot 1

rechnen.
also

\frac{12}{81} t

oder???

ogeca aktiv_icon

22:20 Uhr, 29.11.2010

Kürze den Bruch mit

3,

dann bekommt du das selbe

anonymous

22:22 Uhr, 29.11.2010

nein, ich habe

\frac{12}{81} = 0,148

du hast

\frac{27}{4} = 6,75

ogeca aktiv_icon

22:25 Uhr, 29.11.2010

Kehrwert davon ;-)

\frac{12}{81} t = 1 | \cdot \frac{81}{12}

t = \frac{81}{12} = \frac{27}{4}

ogeca aktiv_icon

22:41 Uhr, 29.11.2010

@DmitriJakov
Ne kreative Lösung, so gehts auch...

anonymous

22:42 Uhr, 29.11.2010

ja, wäre auch einfacher.
nur leider zu spät.
egal, danke euch beiden!!!

anonymous

22:42 Uhr, 29.11.2010

ja, wäre auch einfacher.
nur leider zu spät.
egal, danke euch beiden!!!

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