Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Welche Formel wurde hier verwendet?

Welche Formel wurde hier verwendet?

Schüler Gymnasium,

Tags: Abitur, Änderungsrate, Formel, Gleichungen, Kursstufe, Mathematik, Term

dodii aktiv_icon

14:01 Uhr, 10.05.2013

Hallo,
ich hoffe ihr könnt mir helfen :-)
ich hab hier zur übung eine alte Abi-Aufgabe (und auch die offizielle Lösuhng) und stecke aber gerade fest.

Die (Teil-)Aufgabe:

In einem Behälter mit einem Zufluss und einem Abfluss befinden sich zu Beginn

200

Liter Flüssigkeit. Einerseits fließen pro Minute

12

Liter zu, andererseits
beträgt die momentane Abflussrate

2 %

des jeweiligen Inhalts pro Minute.
Dieser Vorgang wird durch die Differenzialgleichung B¢(t)

= a - b

×B(t) beschrieben.
Geben Sie a und

b

an.
Zeigen Sie, dass

f

eine Lösung dieser Differenzialgleichung ist.

(3

VP)
Ermitteln Sie einen Funktionsterm, der diesen Vorgang beschreibt. Welche
Flüssigkeitsmenge ist nach einer Stunde aus diesem Behälter abgeflossen ?

Die Lösung:

Es gilt:

B' (t) = 12 - 0,02

×B(t) .
Umformung der Differenzialgleichung:

B' (t) = 0,02

(600 - B (t))

.
Damit handelt es sich um ein beschränktes Wachstum mit

S = 600

.
Die Lösung der Differenzialgleichung lautet:

B (t) = 600 - a

e - 0,02 t

Mit

B (0) = 200

folgt

B (0) = 600 - a = 200

⇒

a = 400

Funktionsterm:

B (t) = 600 - 400

e - 0,02 t

Flüssigkeitsmenge nach 1 Stunde:

B (60) = 600 - 400

× e-0,02×60

= 479,5

Liter.
Nach 1 Stunde sind

60

×12

= 720

Liter zugelaufen.
Ohne Abfluss wären dann

200 + 720 = 920

Liter im Behälter.
Die Differenz zur tatsächlichen Menge stellt die Abflussmenge in einer Stunde dar:

920

–

479,5 = 440,5

Liter

Meine Frage:

-Wie kommt man zu der Umformung und welche Formel hat man benutz, um zu wissen, dass es sich um ein beschränktes Wachstum handelt?
-Ist die

600

ein Ergebnis dieser Gleichung oder aus der vorherigen Teilaufgabe übernommen?

Der Rest ist mir klar, da man nur noch einsetzten und ausrechnen muss.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Rechnen mit Klammern
Terme aufstellen und gliedern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

prodomo aktiv_icon

14:20 Uhr, 10.05.2013

Die Zuflussmenge pro Minute ist konstant, die Abflussmenge dagegen variabel. Der Flüssigkeitsspiegel steigt, solange der Zufluss größer ist als der Abfluss, also

12 > 0,02 \cdot B (t)

. Das ergibt

B (t) < 600

600

ist also der größte Wert, den das Behältervolumen annehmen kann.
Die Formel für das begrenzte Wachstum wird oft unterschiedlich dargestellt. Ich bevorzuge die Analogie zur Aufladung des Kondensators, also

B (t) = 200 + 400 \cdot (1 - e^{- k \cdot t})

. Der Term in der Klammer ist im Grunde nur das Spiegelbild der e-Fkt., welche die Kondensatorentladung beschreibt.

MissMaple aktiv_icon

14:20 Uhr, 10.05.2013

Wir man auf die

600

kommt ist ersichtlich:

Es gilt: B′(t)=12−0,02 ×B(t) .
Umformung der Differenzialgleichung: B′(t)=0,02 × (600−B(t)).

0,02

wurde ausgeklammert.

\frac{12}{0,02} = 600

dodii aktiv_icon

14:37 Uhr, 11.05.2013

danke, ich habe das mit der

600

jetzt verstanden.
aber wie genau kommt man auf die umformung?

prodomo aktiv_icon

14:56 Uhr, 11.05.2013

Ich nehme an, dass bei dieser Aufgabe die Formel für das begrenzte Wachstum als bekannt vorausgesetzt wurde bzw. die Prüflinge sie wissen mussten. Die Herleitung der Lösungen zu DGL gehört meistens nicht in die Schule, sondern dort wird gezeigt, dass eine bestimmte Funktion die Bedingungen erfüllt. Die Herleitung hier könnte so aussehen:

B' (t) = 0,02 \cdot [600 - B (t)]

. Substituiere

600 - B (t) = z (t),

also

- B' (t) = z' (t)

. Damit

\frac{- z' (t)}{z} (t) = 0,02

. Beidseitige Integration

- ln z = 0,02 \cdot t + C

\frac{1}{z} = e^{0,02 \cdot t} \cdot e^{C}

\frac{1}{600 - B} = e^{0,02 \cdot t} \cdot e^{C}

. Nach

B

auflösen und

C

aus dem Randwert

B (0) = 200

bestimmen.

dodii aktiv_icon

15:20 Uhr, 11.05.2013

ok, aber ich versteh es immer noch nicht so richtig
die frage ist ermitteln sie einen funktionsterm.
durch die gegebenen infos kann ich mir die ablietung

B' (t)

herleiten.
laut der lösung muss ich danach die dgl umformen.
erstmal, was genau ist in dieser aufgabe die dgl? die ableitung?

prodomo aktiv_icon

11:33 Uhr, 12.05.2013

Eine DGL (Differentialgleichung ) ist eine Gleichung zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen. Die Lösung ist also eine Funktion, welche die DGL erfüllt. Beim radioaktiven Zerfall

z . B

. ist die Abnahme pro Zeiteinheit proportional der noch vorhandenen Menge, als DGL

- y' = k \cdot y

.
Wenn man jetzt erinnert, dass e-Fkt. immer wieder sich selbst beim Ableiten geben, muss man nur noch den Faktor

k

finden. Den bekommt man mit der Kettenregel über die innere Ableitung, weil

(e^{- k \cdot t})' = - k \cdot e^{- k \cdot t}

ist. Zusätzlich muss noch der Wert von

y

für

t = 0,

eine sogenannte Randbedingung, gegeben sein, weil sonst alle Vielfachen einer Lösung auch Lösungen sind. Ihn nennt man

y_{0}

und bekommt

y = y_{0} \cdot e^{- k \cdot t}

. Wenn man dazu

y'

bildet, passen beide in die DGL.
In der Schule werden die Verfahren zur Lösung von DGL selten besprochen, man beschränkt sich auf die bekannten Eigenschaften der e-Fkt. und der sin und

cos -

Fkt. Beide wiederholen sich ja bei den Ableitungen immer wieder. Mit der Kettenregel findet man dann die auftretenden Faktoren.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1094084

1093777

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?