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Wendepunkt einer biologischen Typ III Funktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Wendepunkt

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13:41 Uhr, 10.08.2009

Ich bin Biologie-Studentin und meine Mathe ist leider schon etwas eingerostet vielleicht kann einer von euch mir weiterhelfen.
Ich habe eine sigmoide Function für den funktionellen Response Typ III und soll nun feststellen ob die stabilisierende Wirkung auch ökologisch relevant ist. Dazu brauche ich den WENDEPUNKT der Funktion. Ich befürchte aber dass ich bereits in der ersten Ableitung einen riesen Fehler gemacht habe und die zweite Ableitung totaler Blödsinn ist.
Also hier die Funktion:

f (x) = \frac{a \cdot x^{b}}{c^{b} + x^{b}}

bei mir war f´(x)=

\frac{a \cdot b \cdot c^{b}}{x^{b} {(c^{b} + x^{b})}^{2}}

aber dann müsste ja

a \cdot b \cdot c^{b} = 0

sein, die parameter sind aber nicht Null.

P . S . :

Ich hab noch ein bild von einer meiner experimentellen Ergebnissen angehängt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

HP7289 aktiv_icon

13:52 Uhr, 10.08.2009

Quotientenregel:

Für

f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}

ist

f' (x) = \frac{u' (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v' (x)}{v^{2} (x)}

Setze

u (x) = a \cdot x^{b}

und

v (x) = c^{b} + x^{b}

\Rightarrow

u' (x) = a \cdot b \cdot x^{b - 1}

v' (x) = b \cdot x^{b - 1}

Einsetzen:

f' (x) = \frac{(a \cdot b \cdot x^{b - 1}) \cdot (c^{b} + x^{b}) - (a \cdot x^{b}) \cdot (b \cdot x^{b - 1})}{{(c^{b} + x^{b})}^{2}}

f' (x) = \frac{(a \cdot b \cdot c^{b} \cdot x^{b - 1} + a \cdot b \cdot x^{2 b - 1}) - (a \cdot b \cdot x^{2 b - 1})}{c^{2 b} + 2 \cdot c^{b} \cdot x^{b} + x^{2 b}}

f' (x) = \frac{a \cdot b \cdot c^{b} \cdot x^{b - 1}}{c^{2 b} + 2 \cdot c^{b} \cdot x^{b} + x^{2 b}}

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14:40 Uhr, 10.08.2009

Danke für die schnelle Antwort!

Dann war mein Fehler bei der Umformung.

Kann mir auch jemand bei der 2. Ableitung helfen, ich bin mir dabei sehr unsicher.

magix aktiv_icon

15:40 Uhr, 10.08.2009

f"(x)=

\frac{a \cdot c^{b} \cdot b \cdot [(b - 1) \cdot x^{b - 2} \cdot (c^{b} + x^{b}) - x^{b - 1} \cdot 2 \cdot b \cdot x^{b - 1}]}{{(c^{b} + x^{b})}^{3}}

Das lässt sich natürlich noch nach allen möglichen Richtungen umformen, aber da ich nicht weiß, was du dann damit vor hast, ist das eher Beschäftigungstherapie.

Gruß Magix

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17:19 Uhr, 10.08.2009

Danke!
Nun wie ich oben schon geschrieben habe brauche ich den Wendepunkt, also muß ich jetzt

(b - 1) \cdot x^{b - 1} \cdot (c^{b} + x^{b}) - x^{b - 1} \cdot 2 b \cdot x^{b - 1} = 0

setzen und nach

x

auflösen oder?
wie man das mit

x^{2}

macht ist mir klar aber

x^{b}

magix aktiv_icon

19:56 Uhr, 10.08.2009

Vorsicht, im ersten Teil des Terms heißt es

x^{b - 2},

nicht

x^{b - 1}

magix aktiv_icon

20:18 Uhr, 10.08.2009

Ist gar nicht sooo schwer. Ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe. Bitte kontrollieren!

(b - 1) \cdot x^{b - 2} \cdot (c^{b} + x^{b}) - x^{2 (b - 1)} \cdot 2 b = 0

(b - 1) \cdot x^{b - 2} \cdot c^{b} + (b - 1) \cdot x^{2 b - 2} - x^{2 b - 2} \cdot 2 b = 0

(b - 1) \cdot x^{b - 2} \cdot c^{b} + x^{2 b - 2} \cdot (b - 1 - 2 b) = 0

(b - 1) \cdot x^{b - 2} \cdot c^{b} + x^{2 b - 2} \cdot (- 1 - b) = 0

x^{b - 2} [(b - 1) \cdot c^{b} + x^{b} \cdot (- 1 - b)] = 0

x_{1} = 0

(b - 1) \cdot c^{b} + x^{b} \cdot (- 1 - b) = 0

x^{b} \cdot (- 1 - b) = - (b - 1) \cdot c^{b}

x^{b} = \frac{- (b - 1) \cdot c^{b}}{- 1 - b} = \frac{(b - 1) \cdot c^{b}}{1 + b}

x = {(\frac{(b - 1) \cdot c^{b}}{1 + b})}^{\frac{1}{b}} = c \cdot {(\frac{b - 1}{b + 1})}^{\frac{1}{b}}

wie gesagt, bitte kontrollieren, da es doch ziemlich viele Umformungen sind.

Gruß Magix

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22:06 Uhr, 11.08.2009

Vielen lieben Dank für die tolle und schnelle Hilfe!

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