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Wertebereich gebrochen rationaler Funktionen

Schüler

Tags: Gebrochen-rationale Funktionen, Wertebereich

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Tivot

Tivot aktiv_icon

21:10 Uhr, 29.09.2021

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Hallo,

ich habe hier eine sehr einfache gebrochen rationale Funktion:

\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}

Wie kriege ich bei sowas am schnellsten den Wertebereich raus? Ich weiß, die Frage ist eigentlich sehr einfach, konnte aber bis jetzt nur komplizierte Lösungen dafür finden.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Wertemenge (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einfache gebrochen-rationale Funktionen - Fortgeschritten
Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Antwort

N8eule

21:48 Uhr, 29.09.2021

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Tipp:

\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} - 4 ... ... ... . . + x - 2}{x^{2} - 4}

2. Tipp:
dritte binomische Formel

Antwort

Respon

00:32 Uhr, 30.09.2021

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f (x) = \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4}

Die Funktion ist an der Stelle

x = 2

und

x = - 2

nicht definiert, es gibt daher an diesen Stellen keine dazugehörigen Fubktionswerte.
Faktorisiere Zähler und Nenner und interpretiere.

f (x) = \frac{(x - 2) \cdot (x + 3)}{(x - 2) \cdot (x + 2)}

An der Stelle

x = 2

hätten wir eine hebbare Lücke mit dem Funktionswert

\frac{5}{4}

.
Da aber die Funktion für

x = 2

nicht definiert ist

\Rightarrow y \neq \frac{5}{4}

.
Für

x = - 2

haben wir eine Polstelle. Die Funktionswerte gehen linksseitig nach

- \infty

und rechtsseitig gegen

+ \infty

.

Für

x \neq 2

und

x \neq - 2

läßt sich der Funktionsterm umformen zu

1 + \frac{1}{x + 2}

\Rightarrow

Der Funktionswert 1 kann niemals angenommen werden

\Rightarrow

D = ℝ \ {- 2; 2}

W = ℝ \ {\frac{5}{4}; 1}

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supporter

supporter aktiv_icon

05:41 Uhr, 30.09.2021

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Für

x \to \pm \infty :

kürzen mit

x^{2} :

lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}} = 1

vgl:
www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28x%5E2%2Bx-6%29%2F%28x%5E2-4%29

Frage beantwortet

Tivot

Tivot aktiv_icon

20:18 Uhr, 30.09.2021

Antworten

Danke an alle!

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