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Wie anhand f"(x)Graph Aussagen zu f(x) überprüfen?
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Extrempunkt, Nullpunkt, Sattelpunkt, Wendepunkt
 
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Hallo, ich verzweifle momentan an dieser Textaufgabe: Gegeben ist der Graph der zweiten Ableitungsfunktion f” einer Funktion (Fig. . Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Begründen Sie Ihre Antwort. Der Graph von ist im Bereich –0,3 rechtsgekrümmt. Der Graph von hat an der Stelle einen Sattelpunkt. Der Graph von ändert an der Stelle sein Krümmungsverhalten. Ich habe zwar die Lösungen dafür, jedoch verstehe ich sie nicht bzw. kann den Zusammenhang nicht erkennen: Falsch. Für nimmt f"(x) sowohl Werte größer als auch kleiner null an. Falsch. muss nicht null sein, das ist aber Voraussetzung für einen Sattelpunkt. Falsch. f" hat an der Stelle ein Maximum, hat somit an diser Stelle eine Nullstelle, ändern sein Krümungsverhalten nicht. Kann mir bitte jemand das ausführlich erklären, wie ich diese Textaufgabe lösen muss bzw. wie ich vorgehen müsste? Wir haben für solche Aufgaben diese Eselsbrücke(Ich kann aber damit nicht wirklich was anfangen): Nullpunkt__Extrempunkt__Wendestelle Nullpunkt_____ Extrempunkt__Wendestelle f"(x)__________________Nullpunkt_____Extrempunkt_______Wendestelle PS: Es soll nicht rechnerich gelöst werden.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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ad Das Vorzeichen der zweiten Ableitung f" gibt an, ob links- oder rechtsgekrümmt ist. Da f" im Bereich sowohl negative als auch positive Werte annimmt, ist in diesem Bereich teilweise rechts- und teilweise linksgekrümmt. Genauer gesagt wechselt das Krümmungsverhalten bei dort hat also einen Wendepunkt. Dort gehts für von einer Rechts- in eine Kinkskurve ad Damit ein Sattelpunkt vorliegt, müssen drei Voraussetzungen erfüllt sein: f"=0; das ist bei der Fall das kann, muss aber nicht sein. Es gibt ja viele Möglichkeiten für wenn nur f" bekannt ist (Stichwort: Integrationskonstante). Nur bei einer davon hat an der Stelle 0 einen Sattelpunkt. Somit ist die Aussage , dass sicher einen Sattelpunkt bei 0 hat nicht haltbar. die nächste Ableitung, die an der Stelle ungleich 0 ist, muss einen ungeraden Ableitungsindex haben. Also zB . Das scheint der Fall zu sein, aber wegen hilft das nun auch wieder nix. ad Das Krümmungsverhalten ändert sich dort, wo sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung ändert, also bei den Nullstellen von f". Nicht aber bei den Extremwerten von f". Allerdings ist in deiner Lösung die Aussage, dass bei eine Nullstelle hätte, vollkommener Unsinn! |
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Hallo Roman-22, danke für deine ausführliche Erklärung! :-) Ich habe da aber noch ein paar kurze Fragen: Woher weiß ich, dass der Graph bis nach geht? Der Graph in der Abbildung geht doch nur bis . 1. Und wenn der ganze Graph jetzt in der zweiten Ableitung f”(x) komplett im positiven x-Bereich wäre, handelt es sich dann um eine Rechtskurve bei ? 2. Ist es dann immer so, dass wenn ein gegebener Bereich von negativ ins positiv geht . nie nur eine Rechtskurve sein kann?(sondern beides? Also wenn stets der Fall ist, aber nicht gegeben ist, dann muss es zwangsläufig kein Sattelpunkt sein?(sofern man nur einen Graph der f”(x) hat) Angenommen es wäre . Dann wäre das ja ein Nullpunkt bei f”(x). Muss dann ein Krümmungsverhalten haben bzw. ein Wendepunkt besitzen? Und wenn ja, kann ich auch bestimmen ob das von links-rechts oder rechts-links geht? |
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Woher weiß ich, dass der Graph bis nach geht? Der Graph in der Abbildung geht doch nur bis . Ich verstehe die Frage nicht. Gezeichnet sehe wir den Graph von ab ca. . Wir können nicht wissen, wie der Graph davor verläuft außer, dass er sich nicht im sichtbaren Bereich befindet. Ist für die Aufgabe aber ohnedies unerheblich. . Und wenn der ganze Graph jetzt in der zweiten Ableitung f”(x) komplett im positiven x-Bereich wäre, handelt es sich dann um eine Rechtskurve bei ? Wenn die zweite Ableitung positiv ist, so liegt eine Linkskurve vor! Also beispielsweise ist im Bereich linksgekrümmt. . Ist es dann immer so, dass wenn ein gegebener Bereich von negativ ins positiv geht . nie nur eine Rechtskurve sein kann?(sondern beides? Ja! Schau doch mal zu dem Thema in dein Lehrbuch, dort ist es sicher ausführlich erklärt. zB auch files.schulbuchzentrum-online.de/pdf/978-3-507-83928-1-2-l.pdf oder mathekurs.ch/mk/files/analysis/kudis_2.pdf Also wenn stets der Fall ist, aber nicht gegeben ist, dann muss es zwangsläufig kein Sattelpunkt sein?(sofern man nur einen Graph der f”(x) hat) Du formulierst sehr eigentümlich und unverständlich. Bei Aufgabe ist die Situation so, dass nur einige der möglichen Funktionen einen Sattelpunkt haben, aber bei Weitem nicht alle (weil eben eine Nullstelle haben kann, aber nicht muss. Daher ist die Pauschalaussage, dass auf jeden Fall in 0 einen Sattelpunkt hat, falsch. Angenommen es wäre . Dann wäre das ja ein Nullpunkt bei f”(x). Ja, und wie man sieht, ändert dort ihr Krümmungsverhalten, weil links von die zweite Ableitung f" poitiv ist und rechts negativ. Das Krümmungsverhalten ändert sich also nicht, weil f" eine Nullstelle hat (f" könnte die x-Achse ja auch nur berühren), sondern weil f" dort ihr Vorzeichen wechselt Muss dann ein Krümmungsverhalten haben ?? hat an jeder Stelle ein Krümmungsverhalten :-) Man versteht darunter doch nur, ob an der Stelle links- oder rechtsgekrümmt ist oder einen Wende- oder Flachpunkt (bei beiden ist die Krümmung Null) hat. Und wenn ja, kann ich auch bestimmen ob das von links-rechts oder rechts-links geht? Du meinst, wenn f" an einer Stelle das Vorzeichen wechselt? Ja, natürlich. Etwa am der Stelle . Links davon ist f" positiv, als ist linksgekrümmt, rechts von ist f" negativ, also ist rechtsgekrümmt. |
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Danke für deine Hilfe!! |
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