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Wie berechne ich Extremwerte ohne Ableitung?

Schüler Kolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Extramstelle, Extremwert, Extremwertaufgabe, Extremwerte, Quad. Funktionen - Problem

crnogorka aktiv_icon

19:38 Uhr, 23.03.2009

Folgende Aufgabe ist zu lösen, allerdings muss man zu dem Ergebnis kommen, OHNE die Ableitung des Terms zu bilden:

An einer Südseite einer Wand soll ein rechteckiges Kräuterbeet angegrenzt werden.
Es stehen

16 m

Beetumrandung zur Verfügung.

Der Flächeninhalt des Beets soll möglichst groß werden.
Wieviel Meter muss man dann für die Seitenlänge wählen?
Welches ist der größte Flächeninhalt?

Bitte beantwortet mir die Frage als wäre ich in der ersten Klasse

(\in

etwa), kann es nämlich nur mit Ableitungen ;-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

munichbb

19:56 Uhr, 23.03.2009

Hi,

immer

a^{2} =

Max also

\sqrt{16}

wegen

4 \cdot 4;

Gruß
munichbb

crnogorka aktiv_icon

19:58 Uhr, 23.03.2009

Danke, aber das versteh ich nicht.

Also Umfang=16cm Fläche=a*b

d . h

. 20cm=

2 \cdot a + 2 \cdot b ...

.

und wie komm ich jetzt zum Ergebnis?
Sorry Munichbb, aber das war zu kurz...peinlich peinlich...

Leuchtturm aktiv_icon

20:04 Uhr, 23.03.2009

Das Zauberwort heißt hier Scheitelpunktform:

Ziel:

A (a; b) =

Länge mal Breite also

a \cdot b \to max

Nebenbedingung:

a + 2 b = 16

(weil der Zaun an eine Wand gebaut wird und deshalb ein a wegfällt!)

NB:

a = 16 - 2 b

einsetzen in die Zielfunktion

A = (16 - 2 b) \cdot b

A = 16 b - 2 b^{2}

A = - 2 b^{2} + 16 b

\frac{A}{- 2} = b^{2} - 8 b

(jetzt quadratisch ergänzen)

\frac{A}{- 2} = b^{2} - 8 b + 4^{2} - 4^{2}

\frac{A}{- 2} = {(b - 4)}^{2} - 16

A = - 2 {(b - 4)}^{2} + 32

Der Scheitelpunkt liegt bei

(4 | 32)

. Die Seite

b

muss

4 m

lang werden, der Flächeninhalt beträgt dann

32 m^{2}

.
Die Seite a ist mithin

8 m

lang.

crnogorka aktiv_icon

20:18 Uhr, 23.03.2009

Okay,also bis zur quadratischen Ergänzung verstehe ich alles...
Nur was macht man bei der quardr. Ergänzung?
Wieso ist 4²-4² nicht Null sondern

16

und

. .

.

Mensch,also GENAU DA hakt es bei mir...

Kannste mir vielleicht sagen was man bei einer quadr. Ergänzung macht?Genau ab Rechenzeile 5 kapier ich nix mehr

: - (

Leuchtturm aktiv_icon

20:23 Uhr, 23.03.2009

Weil

b^{2} - 8 b + 4^{2}

ein Binom ist und daher auch als

{(b - 4)}^{2}

aufgeschrieben werden kann und soll, deswegen macht man ja die

Q . E

anonymous

20:34 Uhr, 23.03.2009

bei solchen aufgaben musst du iummer ein quadrat bilden, dadurch wird der flächeninhalt am größten, probiers aus wenn dus nicht glaubst...
sie lässt sich mit nem ganz einfachen lgs lösen..
also stell dir vor du musst den

16 m

langen zaun aus zweimal der länge

x

und einmal der länge

y

bilden

d . h

. mathematisch:

16 = 2 x + y

wenn du dann

x

mit

y

gleichsetzt (wegen des quadrates) erhältst du

16 = 3 x

terumgeformt

x =

5,periode3
also antwort:
man muss mit dem zaun ein quadrat mit einer seitenlänge von

5,2 m

ergänzen

Leuchtturm aktiv_icon

20:37 Uhr, 23.03.2009

@jakfrisch: Häh?

{(5 \frac{1}{3})}^{2} = 28,4444 m^{2}

wie willst du denn damit gegen

32 m^{2}

ankommen?

anonymous

20:47 Uhr, 23.03.2009

ich guru..
sry du hast natürlich recht hiermit nehm ich auch meinen ganzen eintrag zurück.. weiß auch nicht wie ich darauf gekommen bin :-D)

crnogorka aktiv_icon

20:50 Uhr, 23.03.2009

Ahaaa,lang lang ist's her..also hat es was mit binomischen Formeln zu tun?

Darauf muss man erstmal kommen.

Ist es die 2.te bin.Formel,richtig?

Also muss auch sagen,

32

ist richtig, hattens in der Schule.

Bamamike aktiv_icon

23:50 Uhr, 24.03.2009

Nochmal zum Klarstellen:

siehe Skizze

592085

591425

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