Wie berechne ich Extremwerte quadratischer Terme?

Also:

${\displaystyle {\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+6\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+8}$

wird einfach mit einer geschickten null erweitert (quadratische ergenzung nennt man den spaß) um ein einfachen quadratischen term zu erhalten, in diesem fall mit ${\displaystyle +3^2\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3^2}$ (und nicht ${\displaystyle 3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$).

jetzt kann man es vereinfachen:

${\displaystyle {\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+6\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+(3^2-3^2)+8={(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3)}^2-9+8={(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3)}^2-1}$

wie schon erwähnt die extrema erhällst du durch bilder erster ableitung.

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{,}=2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+6}$

und dessen nullstelle, also bei x=-3. Weil hier ein Vorzeichenwechsel von -/+ ist ergibt sich ein tiefpunkt (TIP) an der stelle x=-3