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Zeigen Sie, dass alle Geraden ga in einer Ebene ..

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Lage Gerade und Ebene

Tags: Ebene, Gerade, Lage

Steffi92 aktiv_icon

18:11 Uhr, 12.07.2010

Hallo, ich brauche dringend Hilfe bei einer Aufgabe, ich habe absolut keine Ahnung wie ich das anstellen soll.

$G e g e b e n i s t e i n e G e r a d e n s c h a r g_{a} : \overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} a - 1 \\ 2 a + 2 \\ - a \end{matrix}), a \in R$

Zeigen Sie, dass alle Geraden ga in einer Ebene F liegen.

Wie mache ich das nun? Normalerweise muss ich doch die Ebenengleichung mit der Geradengleichung gleichsetzen oder? Ich habe aber keine Ebenengleichung gegeben..

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!

LG Steffi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Ebene Geometrie - Einführung
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Ebene - Ebene

Abstand Punkt Ebene
Ebene Geometrie - Einführung
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

vulpi aktiv_icon

18:36 Uhr, 12.07.2010

Hallo !

Ich würde die Aufgabe so lösen:

1 .)

Ich picke mir 2 verschiedene konkrete Richtungsvektoren heraus,

z . B

a = 0

und

a = 1

2 .)

Ich zeige, dass jeder beliebige weitere Vektor aus der Schar zu diesen beiden komplanar ist.

Da ein Fixpunkt für alle Geraden gegeben ist, liegen diese Geraden dann auch alle
in besagter Ebene.

Wär' das schon mal ein Weg ?

mfg

Steffi92 aktiv_icon

18:47 Uhr, 12.07.2010

okay und wie zeigt man dann, dass jede beliebige gerade komplanar ist?

vulpi aktiv_icon

18:55 Uhr, 12.07.2010

Hi,
du bildest das Kreuzprodukt aus den 2 konkreten Vektoren,
nenn' ich mal

\vec{v_{1}}

und

\vec{v_{2}}

also

\vec{n} = \vec{v_{1}} X \vec{v_{2}}

Jeder Vektor, der SENKRECHT zu diesem

\vec{n}

steht, liegt doch dann folglich (auch)
in der gleiche Ebene, wie

\vec{v_{1}}

und

\vec{v_{2}}

Somit muß das Skalarprodukt

\vec{v_{a}} . \vec{n} = 0

gelten.

Wenn dies für ALLE

\vec{v_{a}}

allgemein gilt, ist die Komplanarität sämtlicher
Richtungsvektoren der Schar gezeigt.
Diese Richtungsvektoren "kleben" aber alle an dem Fixpunkt, daher liegen die
Geraden in der gleichen Ebene.
Diese Ebene wäre dann namentlich

z . B

(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + α \vec{v_{1}} + β \vec{v_{2}}

mfg

Steffi92 aktiv_icon

19:01 Uhr, 12.07.2010

aah natürlich! :-) dann rechne ich das gleich mal aus!
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe!

LG Steffi

BjBot aktiv_icon

19:06 Uhr, 12.07.2010

Ich würde aus der Geradenschar einfach eine Ebenengleichung machen.
Durch den Parameter a kann man einen zweiten Richtungsvektor erzeugen und der Rest wird zum Stützvektor gerechnet.
Danach noch kurz begründen dass die beiden Richtungsvektoren auch wirklich linear unabhängig sind aber das "sieht" man meist ja schon direkt und bedarf keines großen Aufwandes.

Steffi92 aktiv_icon

19:21 Uhr, 12.07.2010

also ist die Ebenengleichung dann z.B.

$\vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix})$

und der Beweis, dass sie linear unabhängig sind ist, dass die beiden Richtungsvektoren keine Vielfachen von einander sind, oder?

BjBot aktiv_icon

19:32 Uhr, 12.07.2010

Ein Richtungsvektor ist (1;2;-1) und der andere ist (-1;2;0) denn

(\begin{array}{rcl} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + μ (\begin{array}{rcl} a - 1 \\ 2 a + 2 \\ - a \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + μ (\begin{array}{rcl} a \\ 2 a \\ - a \end{array}) + μ (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + λ (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) + μ (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})

Steffi92 aktiv_icon

19:36 Uhr, 12.07.2010

achso dann hab ich das falsch verstanden einen neuen richtungsvektor aus dem parameter a zu bilden..

aber das mit der linearen unabhängigkeit stimmt? :)

BjBot aktiv_icon

19:37 Uhr, 12.07.2010

Das mit der linearen Unabhängigkeit war genau richtig =)

Steffi92 aktiv_icon

19:38 Uhr, 12.07.2010

juhu! :)

dann bedanke ich mich ganz herzlich bei dir!

BjBot aktiv_icon

19:39 Uhr, 12.07.2010

Gern geschehen, viel Erfolg weiterhin :-)

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