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Zusammenhang Laurent-Reihe und Stammfunktion
Universität / Fachhochschule
Funktionentheorie
Tags: Funktionentheorie
 
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Hallo zusammen, ich würde gerne folgenden Zusammenhang verstehen: Eine auf einem Kreisring definierte Laurentrehe hat genau dann eine Stammfunktion, wenn das Residuum 0 ist. Mir ist klar, dass der Kreisring kein einfach zusammenhängendes Gebiet ist, sd. ich den Cauchyschen Integralsatz nicht anwenden kann, außerdem weiß ich, dass die Konvegenz der Reihe auf jedem abgeschlossenen Kreisring innerhalb des Kreisringes, auf dem sie definiert ist, gleichmäßig ist, aber irgendwie sehe ich den Zusammenhang nicht, vielleicht ja jemand von euch :-) LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff) Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo, Du erhältst die Stammfunktion einfach, indem Du die Laurent-Reihe gliedweise integrierst (glm Konvergenz ok). Problem wäre nur der Term mit der Potenz -1, aber der wird ja extra ausgeschlossen. Gruß pwm |
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Hallo, danke für deine Antwort! Wäre das Argument, dass der Term mit Potenz -1 keine Stammfunktion haben kann, dass es sich beim Kreisring nie um ein einfach zshgd. Gebiet handelt ? LG |
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> Wäre das Argument, dass der Term mit Potenz -1 keine Stammfunktion haben kann, dass es sich beim Kreisring nie um ein einfach zshgd. Gebiet handelt ? Vielleicht meinst du ja das richtige, aber so formuliert klingt es so, als wäre das nicht einfach zusammenhängende Gebiet Grund genug dafür, dass keine Stammfunktion existiert. Dem ist natürlich nicht generell so, wie das gerade eben genannte Vorgehen von pwmeyer zeigt. Du wählst einfach irgendeinen geschlossenen Weg "einmal rund um das Loch", z.B. in der Mitte des Kreisrings verlaufend, also bei Radius . Laut Residuensatz hat dieses Integral dann einen Wert ungleich Null, falls das Residuum im Kreismittelpunkt ungleich Null ist. Ein solches Integral ungleich Null widerspricht aber den Forderungen an eine komplexe Stammfunktion. |
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Hallo, ja ich habe es wohl etwas unsauber formuliert, eigentlich wollte ich darauf hinaus, dass wenn eine Stammfunktion existiert, und das Gebiet einfach zusammenhängend wäre, dass das Wegintegral über die (holomorphe) Funktion dann 0 sein müsste (wenn der Weg C^1 und geschlossen ist), aber ich denk das hilft mir hier nicht. Das Argument mit dem Residuensatz macht Sinn, aber der war an dieser Stelle in der Vorlesung noch nicht bekannt, gibt es eine andere Möglichkeit um zu sehen, dass der Term mit Potenz -1 verschwinden muss? LG |
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Eventuell durch einfaches nachrechnen ? mit |
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> Das Argument mit dem Residuensatz macht Sinn, aber der war an dieser Stelle in der Vorlesung noch nicht bekannt, Die einfachere Cauchysche Integralformel würde auch schon reichen. Oder wie du gerade sagtest, konkret ausrechnen. |
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Klar ok, und dann erhalte ich im Widerspruch dazu, dass das Wegintegral einer holomorphen Funktion in einem Gebiet 0 sein muss, in diesem Fall den Wert 2*pi*i und damit muss der Term wegfallen und das Residuum 0 sein, ich danke euch :-) |
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