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abzählen von Unstetigkeiten einer monotonen Fkt.

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Tags: Funktion, Monotonie, Stetigkeit

 
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Brutalics

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14:40 Uhr, 16.12.2011

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Hi, ich verzweifle momentan an einer Aufgabe.

Dabei muss ich einfach nur einen Satz beweisen.

Sei f:[a,b]→R (R-reelle Zahlen) eine monotone Funktion. Dann hat f auf [a,b] höchstens abzählbar viele Unstetigkeiten.

Meine Idee wäre jetzt, zu sagen, dass: Da f eine monotone Funktion ist, kann es nicht unendlch viele Unstetigkeiten geben. Denn wenn dies der Fall wäre, dann gäbe es ja keine Funktion mehr, sondern nur noch einzelne Punkte einer Menge.

Mein Problem ist, dass ich erstens nicht weiss, ob meine Idee richtig ist und dass ich zweitens weiss, wenn ich das so abgeben würde, dann würde ich keine Punkte bekommen, da es nicht in mathematischer Form geschrieben ist.

Also bitte, wenn jemand Ahnung hat, bitte helft mir.
Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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hagman

hagman aktiv_icon

22:33 Uhr, 16.12.2011

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Monotones f:[a,b]→ℝ kann durchaus unendlich viele Unstetigkeitsstellen haben.
Beispiel: f:[0,1]→ℝ mit f(0)=0 und f(x)=1n für x mit 1n+1<x≤1n,n∈ℕ
Dies ist unstetig an allen Stellen x=1n,n∈ℕ
Wenn du strenge Monotonie bevorzugst, betrachte f(x)+x statt f(x).

Dies sind unendlich viele Unstetigkeitsstellen, aber halt lediglich abzählbar viele.

-

Um die Aufgabe zu lösen, zeige, dass jede Unstetigkeitsstelle eine Sprungstelle um einen positiven Wert ist, also einer entsprechend großen Lücke im Wertebereich entspricht.
Überabzählbar viele positive Lücken würden in "Summe" (die man für so viele Summanden gar nicht bilden kann) auf jeden Fall zu groß für den beschränkten Wertebereich [f(a),f(b)]. Dieses Argument müsste allerdings ebenfalls formaler dargebracht werden.
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Rentnerin

Rentnerin

12:47 Uhr, 17.12.2011

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Bei solchen Aufgaben könnte einen der Zorn überkommen.

Gruß Rentnerin
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