Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » gebrochenrationale Funktionen

gebrochenrationale Funktionen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Asymptote, Funktion, gebrochen-rational

Franziska1 aktiv_icon

16:36 Uhr, 16.01.2011

Hallo,

als erstes habe ich da mal eine Frage zur Rekonstruktion von gebrochenrationalen Funktionstermen:
Unsere Aufgabe lautet: Gesucht sind Beispiel gebrochenrationaler Funktionen, die diese folgenden Eigenchaften erfüllen!

a)

Polstelle bei

x = 3,

waagerechte Asymptote

: y = - 1

b)

Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei

x = 5,

Asymptote:

y = x - 0,5

c)

keine Polstellen, keine ganzrationale Funktion, Asymptote:

y = x

Sooo... also für

a)

dachte ich jetzt so:
- Polstelle heißt, dass im Nenner

(x - 3)

stehen muss
- und

A (x) = - 1

Aber woher weiß ich, was ich dann in den Zähler schreiben muss??
-1+(?/(x-3)

bei

b)

ist es genau dasselbe
- Polstelle ohne VZW heißt:

(x - 5)

im Nenner
- und vor den Bruch kommt

x - 0,5

aber was kommt dann in den Zähler??

und bei

c)

hab ich gar keinen Ansatz!?!?

Und dann habe ich noch eine große Frage: Und zwar:
folgende Funktionsschar:

f (x) = \frac{t}{x^{2}} + {(\frac{x}{t})}^{2}

Davon soll ich jetzt die Asymptote benennen... aber wie geht das?
Mit Polynomdivision komm ich immer wieder genau auf dieselbe Ausgangsfunktion!
Heißt das vielleicht, dass es keine Asymptote gibt?

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

mathos aktiv_icon

17:18 Uhr, 16.01.2011

Hallo ;-)

Ich versuchs mal.

zu a)
In den Zähler schreibst du einfach irgendeine Zahl (außer 0), denn wichtig ist hier nur, dass der Term nach der -1 gegen Null geht, wenn x gegen unendlich geht.

Also

f (x) = - 1 + \frac{1}{x - 3}

nun zu b)
Damit die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist, sollte eine gerade Potenz von (x - 5) im Nenner stehen. Auch hier muss im Zähler wieder ein Polynom stehen, dass einen kleinenren Grad als das nennerpolynom hat, damit der Grenzwert 0 wird.

Also zum Beispiel:

x f (x) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{(x - 5)^{2}}

Nun zu c)
Gehen wir mal davon aus, dass es eine gebrochen-rationale Funktion werden soll.

Sie darf keine Polstellen haben. Dies kann man mit einem Nenner erreichen, der niemals den Wert 0 annimmt.

x^{2} + 1

wäre ein solcher Nenner.

Somit könnte die Funktion dann:

f (x) = x + \frac{1}{x^{2} + 1}

heißen.

Abschließend noch die Funktion

f (x) = \frac{t}{x^{2}} + (\frac{x}{t})^{2} .

Etwas anders geschrieben heißt sie:

f (x) = \frac{x^{2}}{t^{2}} + \frac{t}{x^{2}}

Der erste Summand ist die Asymptote wenn x gegen unendlich geht, denn genau da geht der zweite Summand gegen Null. Dabei ist es egal, welche Zahl man für den Parameter t einsetzt. Allerdings darf t nicht 0 werden.

Ich hoffe, dass ich dir damit helfen konnte.
LG

mathos aktiv_icon

17:18 Uhr, 16.01.2011

Franziska1 aktiv_icon

17:32 Uhr, 16.01.2011

Danke für die Antwort...
kann mann daraus schlussfolgern, dass die Asymptote immer der Summand ist, der nicht gegen Null geht, wenn

x

gegen unendlich strebt??

Oder woher weiß ich bei der Funktionsschar das sonst?

Und wie bekommt man heraus, welche Art von Lücken die Funktionsschar hat?
Also Definitonsbereich sind alle reelle Zahlen außer 0 und

t = 0

Aber wie bekommen ich deren Art heraus?
Faktorisieren und Grenzwertebrechnung geht irgendwie nicht oder?

mathos aktiv_icon

17:41 Uhr, 16.01.2011

Wenn die Funktion so Summandenweise aufgeschrieben ist, dann bilden alle die Terme die für x gegen unendlich nicht gegen Null gehen tatsächlich die Asymptote.

Die Funktionsschar hat keine Lücken und nur bei x = 0 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (wegen der geraden Potenz).

Natürlich könntest du auch alles erst auf einen Bruch bringen:

f (x) = \frac{x^{4} + t^{3}}{x^{2} t^{2}}

Diese Form kannst du nun auch einfach mit Hilfe von Grenzwerten untersuchen.
Dein angegebener Definitioonsbereich war richtig.

Franziska1 aktiv_icon

18:08 Uhr, 16.01.2011

Vielen lieben Dank...

eine Frage ist mir da gerade noch eingefallen und zwar:

zur Rekonstruktion:

wie könnte die Funktion aussehen, wenn man die Kriterien von

b)

nimmt,
also

{(x - 5)}^{2}

im Nenner
und die Asymptote ist

x - \frac{1}{2}

und wenn jetzt noch zusätzlich hinzukommen würde: Nullstelle ist bei 2

Wie würde man da rangehen?

mathos aktiv_icon

18:44 Uhr, 16.01.2011

Da wird es schon schwieriger.

Probieren wir es mal so:

Du schreibst zunächst alles wie gehabt auf, und setzt in den Zähler des Bruches einen Parameter:

f (x) = x - \frac{1}{2} + \frac{t}{(x - 5)^{2}}

Nun müsste ja gelten f(2) = 0, damit bei 2 die Nullstelle entsteht, also x = 2 und y = 0 einsetzen.

0 = 2 - \frac{1}{2} + \frac{t}{9}

Jetzt nach t auflösen:

t = - \frac{27}{2}

Dann hättest du die gewünschte Nullstelle auch noch, wenn du diesen Wert für t einsetzt.
Ich wünsche einen schönen Abend.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

842625

842483

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?