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geometrische Aufgabe

Schüler

Tags: Dreieck, Höhen

 
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Uli77

Uli77 aktiv_icon

17:31 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Hallo Leute,

ich benötige bitte ein paar hilfreiche Tipps zur Lösung der folgenden Aufgabe:

Gegeben ist ein Dreieck ABC, dessen Innenwinkel alle kleiner als 90° sind.
Der Punkt A dieses Dreieckes sei mit dem Mittelpunkt D der gegenüberliegenden
Seite BC des Dreieckes verbunden.
Nun gibt es eine weitere Gerade g welche durch den Punkt A geht, und senkrecht zur Strecke AD verläuft. Weiterhin seien E der Fußpunkt der Höhe auf der Seite AC und
F der Fußpunkt der Höhe auf der Seite AB dieses Dreieckes.
Die Verlängerungen der Höhen BE und CF schneiden die Gerade g in den Punkten M und N.

Beweise, das AM = AN ist!

Kann mir jemand helfen?

Danke und viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Uli77

Uli77 aktiv_icon

12:51 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Wollte die Aufgabe noch einmal nach oben schieben, vielleicht hat ja doch noch jemand ein Tipp für mich!

Danke.
Antwort
supporter

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13:07 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Mach zuerst eine Skizze!
Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

14:41 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Ich würde das Dreieck in ein Koordinatensystem bringen, dann Geradengleichungen aufstellen, um so zur Lösung zu gelangen.

mfG

Atlantik
Antwort
Roman-22

Roman-22

09:14 Uhr, 22.10.2019

Antworten
Woher stammt denn diese Aufgabe?
Kommt mir nicht vor, als wäre das ein "übliches" Schulbeispiel.
Gehts um einen Wettbewerb?
Uli77

Uli77 aktiv_icon

12:24 Uhr, 22.10.2019

Antworten
Hallo supporter,

danke für deine Antwort.
Hier nun die Skizze als Bild hochgeladen!

skizze
Uli77

Uli77 aktiv_icon

12:28 Uhr, 22.10.2019

Antworten
Hallo Roman,


meine Nichte bat mich um Hilfe bei der Lösung dieser Aufgabe.
Ich kann daher nicht sagen, woher diese stammt.

Trotzdem Danke

Uli
Antwort
Roman-22

Roman-22

13:29 Uhr, 22.10.2019

Antworten
> meine Nichte bat mich um Hilfe bei der Lösung dieser Aufgabe.
> Ich kann daher nicht sagen, woher diese stammt.
Nun, das lässt sich ja dann durch eine Rückfrage leicht eruieren.
Außerdem wärs vl interessant zu wissen, in welche Klasse deine Nichte geht und in welchem unterrichtlichen Kontext diese Aufgabe eingebettet ist.

Wenn es zB um analytische Geometrie geht, so lässt sich mit dem allgemeinen Ansatz
A(0/0), B(c/0) und C(cx/cy)
leicht durchrechnen, dass MA¯=AN¯=cxcy(c+cx)2+cy2 gilt.
Das ist halt nur stures Nachrechnen und kein leichtfüßiger, eleganter geometrischer Nachweis.


Uli77

Uli77 aktiv_icon

16:55 Uhr, 22.10.2019

Antworten
Danke für deine Antwort.

Vielleicht gibt es ja auch noch einen anderen Lösungsweg!
Evtl. kann man ja zeigen, das die beiden Dreiecke AMX und
ANX kongruent sind?
(X sei der Schnittpunkt der Höhe hc mit der Strecke AD)
Aber bisher habe ich nur eine gemeinsame Seite und den rechten
Winkel in jedem Dreieck gefunden. Vielleicht sieht ja noch jemand
etwas gemeinsames?

Uli


Antwort
maxsymca

maxsymca

18:13 Uhr, 22.10.2019

Antworten
Nun, wenn Seitenmitten angesprochen werden, dann ist vielleicht der Schwerpunkt interessant - veschieb Dein X mal dahin.
www.geogebra.org/m/sdxv7esk


Window_2019-10-22_18-13-00
Uli77

Uli77 aktiv_icon

10:16 Uhr, 23.10.2019

Antworten
Hallo maxsymca,

vielen, vielen Dank für dein Posting.
Ja, wenn man den Schwerpunkt des Dreieckes als Punkt X verwendet,
kann man genau zeigen, das die beiden Dreiecke nach SSW kongruent sind.
Somit wäre auch der Beweis erbracht, das AM = AN.

Jetzt müsste man halt nur noch nachweisen, das die Punkte M und N wirklich
auf der Peripherie des Kreises mit dem Schwerpunkt des Dreieckes als Mittelpunnkt
liegen.

Hast du oder jemand anderes noch eine Idee?

Danke Uli
Antwort
maxsymca

maxsymca

13:19 Uhr, 23.10.2019

Antworten
So eine zündende Idee, nein.
Nur wieder die Berechnung von Roman, was in meiner Zeichnung sich durch ta=-t ausdrückt - die Laufweite |t von A nach N| = |ta Laufweite von A nach M|
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

19:34 Uhr, 24.10.2019

Antworten
Im Crossposting-Thread

www.matheboard.de/thread.php?threadid=592972

habe ich inzwischen eine elementargeometrische Lösung eingestellt.
Antwort
Roman-22

Roman-22

21:34 Uhr, 24.10.2019

Antworten
> habe ich inzwischen eine elementargeometrische Lösung eingestellt.
und du bist sicher, damit keine Aufgabe eines laufenden Wettbewerbs gelöst zu haben?

Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

07:42 Uhr, 25.10.2019

Antworten
Zumindest keine der aktuell noch laufenden ersten Runde der Mathematikolympiade 2019/20. Ich persönlich habe ein Deja-vu bei dieser Aufgabe, d.h., hab die vielleicht irgendwann mal vor ein paar Jahren gesehen - in dem Fall wäre es ja eine alte Aufgabe.

Wenn du andere Erkenntnisse hast, dass es doch eine Aufgabe aus einem anderen laufenden Wettbewerb ist, dann klar raus damit statt solche unterschwelligen Vorwürfe anzubringen.

Und: Wenn du solche Zweifel hast, warum hast du da am 22.10. 13:29 selbst eine Lösung hier gepostet? Wirkt schon ein wenig scheinheilig auf mich.
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