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gerade, rechteckige Pyramide, Vektoren

Schüler

Tags: Gerade, Rechteckige Pyramide, Vektor

NenntMichPeter aktiv_icon

15:39 Uhr, 30.05.2011

Hayooo,

habe die fehlenden Punkte

C, D

und das Volumen berechnet, leider steht in der Lösung für das Volumen

288 e^{3}

.

Wahrscheinlich mache ich etwas bei der Berechnung der höhe falsch? Mein Taschenrechner gibt mir

1,1224620483093729814335330496792

aus.

Weiß leider auch nicht wie ich in dem Beispiel Vorgehen muss um die Schnittpunkte

S 1

und

S 2

auszurechnen.

lt. Lösung

S 1 (13,7,9)

S 2 (- 3,3,5)

Volumen

288 e^{3}

Anbei die Angabe und mein bisheriger Lösungsweg,

ich könnte mir noch vorstellen den Höhenfußpunkt auszurechnen -vielleicht kann ich dann mit der gegeben höhe irgendwie die Spitze ausrechnen?

Besten Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Parallelverschiebung

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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16:00 Uhr, 30.05.2011

Du hast einfach nur falsch in den

T R

eingegeben.

\frac{1}{3} \cdot \sqrt{96^{2} + 24^{2} + 24^{2}} \cdot 6 \sqrt{2} = 288

Übrigens kannst du den Flächeninhalt des Rechtecks auch einfach über

| \vec{A B} | \cdot | \vec{A D} |

bestimmen.

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16:18 Uhr, 30.05.2011

Für

S_{1}

und

S_{2}

kannst du ja mal die Gerade bestimmen die senkrecht zur Grundfläche ist und durch den Mittelpunkt der Grundfläche verläuft. Als Stützpunkt wählst du am besten den Mittelpunkt der Grundfläche und als Richtungsvektor kannst du einen normierten Normalenvektor der Ebene wählen, in der die Grundfläche liegt. Einen Normalenvektor hast du ja über

\vec{A B} \times \vec{A D}

eh schon berechnet. Und vielleicht kommst du dann jetzt auch drauf wie man dadurch

S_{1}

und

S_{2}

bestimmen kann.

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17:57 Uhr, 30.05.2011

Cool danke, dachte es wäre die 6te Wurzel aus 2 gemeint.

Die Gerade habe ich aufgestellt, ich könnte den Betrag von AM und AS ausrechnen aber dann hätte ich noch immer keine Vektoren mit denen ich etwas zum schneiden aufstellen könnte.

Frage mich auch wie das Ding 2 Spitzen haben kann oder sehe ich da etwas falsch?

Anbei mein Lösungsweg und eine Skizze,

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18:17 Uhr, 30.05.2011

Das mit der Verwechslung von

6 \sqrt{2}

und

\sqrt[6]{2}

ist natürlich ärgerlich. Sieh zu, dass dir sowas nicht im Test passiert. ;-)

M (5 | 5 | 7)

ist richtig, aber du hättest auch einfach das arithmetische Mittel von

A

und

C

bilden können.
Deine Geradengleichung ist auch richtig. Normiere nun als nächstes den Richtungsvektor der Geraden, also bringe ihn auf die Länge 1.
Und ist doch logisch, dass es zwei Spitzen geben kann. Einmal quasi ober und einmal unter der Grundfläche. Klar sollte auch sein, dass entweder

S_{1}

oder

S_{2}

Spitze ist und nicht gleichzeitig. Denn ansonsten hast du ja quasi eine Doppelpyramide (etwas oktaederähnliches).

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18:42 Uhr, 30.05.2011

Yeeeeehaw, tausend Dank - stimmt ist eigentlich logisch, dass es 2 Spitzen geben muss.

Verstehe aber unter einer Spitze eigentlich sprichwörtlich eine Pyramidenspitze und keinen Punkt in der Grundebene - da habe ich mich wohl verwirren lassen.

Anbei meine fertige Lösung,

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19:21 Uhr, 30.05.2011

Mit Spitze ist ja auch Pyramidenspitze gemeint. Wie meinst du das mit dem Punkt in der Grundebene? Ich glaube da haben wir aneinander vorbei geredet. Und deinen Rechenweg kann ich auch nicht ganz nachvollziehen. Wenn

\vec{u} = (\begin{matrix} - 96 \\ - 24 \\ - 24 \end{matrix})

ein Richtungsvektor der Geraden ist, dann muss auch

\vec{u_{2}} = - \frac{1}{24} \vec{u} = (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

einer sein. Und da

| \vec{u_{2}} | = \sqrt{18}

ist also ein normierter Richtungsvektor

\vec{u_{0}} = \frac{1}{\sqrt{18}} \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Somit ergibt sich für die Gerade:

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 7 \end{matrix}) + t \cdot \frac{1}{3 \sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Für

t_{1; 2} = \pm 6 \sqrt{2}

erhältst du nun die Ortsvektoren der möglichen Pyramidenspitzen.

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19:47 Uhr, 30.05.2011

S 2

liegt ja in der Grundebene (dem Rechteck), meinte nur dass das für mich einfach verwirrend war.

Ich habe für

u

einfach die höhe

h = 6 \cdot \sqrt{2}

eingesetzt und

S 1

und

S 2

ausgerechnet. Mit dem nomierten Richtungsvektor ABxAD sollte das doch in Ordnung sein oder war das Zufall dass das richtige rausgekommen ist?

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19:52 Uhr, 30.05.2011

Nein

S_{2}

liegt doch nicht im Rechteck.

S_{2}

ist ja eine mögliche Pyramidenspitze. Und auch sonst kann ich deinem Weg gar nicht folgen.
Edit: Achso jetzt verstehe ich. Du hast beim Einheitsvektor einfach gerundet. Das ist natürlich sehr unsauber. Mach es lieber so wie ich bei

19 : 21 h

. Jetzt bleibt nur noch zu klären wie du darauf kommst, dass

S_{2}

in der Grundfläche liegen sollte?

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20:03 Uhr, 30.05.2011

Ja ist leider nicht ganz genau erscheint mir aber übersichtlicher, ich könnte die Werte im TR speichern dann wäre es auch ganz genau. Werde es bei der nächsten mal so wie du anschreiben.

Ich dachte wenn eine Spitze oben liegt muss die andere unten liegen (im Rechteck) oder kann die auch einfach irgendwo im Raum schweben und ist trotzdem Pyramidenspitze, obwohl die an keine Pyramidenwand grenzt?

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20:11 Uhr, 30.05.2011

Ich hab mal ein Bild gemacht. Ist es dir jetzt klar?

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20:20 Uhr, 30.05.2011

Ich denke schon, aber wie man gesehen hat muss das nicht viel heißen. :-D)

Dadurch das ich den Einheitsrichtungsvektor

r

ausgerechnet habe, kann ich jetzt natürlich entweder mit ihm nach oben

(+)

oder nach unten

(-)

gehen und ich bekomme zwei Spitzen heraus die beide die Spitze meiner Pyramide bilden können (je nachdem welche ich haben will).

War fixiert darauf das die Pyramide schon fix fertig steht, was ja Unfug ist weil ich die Kanten zu

S

ja erst erschaffe (je nachdem in welche Richtung ich will).

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20:22 Uhr, 30.05.2011

Hört sich so an als hättest du es verstanden, schön.

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20:25 Uhr, 30.05.2011

Danke, wurde auch so langsam Zeit.

Herzlichen Dank für die Intensivbetreuung DDr. von und zu Shipwater.

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20:27 Uhr, 30.05.2011

Haha, gern geschehen. Ich hoffe das "von und zu" soll keine Anspielung auf Guttenberg sein, denn ich hab nirgends abgeschrieben. ;-)

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