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Geraden in parameterfreier Form darstellen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Gerade, Vektoren

anonymous

03:08 Uhr, 12.10.2008

g : \vec{x} = (1 | 1 | 1) + α (1 | 2 | 3)

Wie gibt man diese Grade in parameterfreier Form an? Wie gibt man allgemein Geraden in parameterfreier Form an?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

03:25 Uhr, 12.10.2008

Ich glaube das funktioniert nicht.

Die Aufgabe lautete, geben sie die Projektionen der Gerade auf die Koordinatenebenen in paramterfreier Form an.

g : \vec{x} = (2 | - 3 | 4) + t (2 | 1 | - 3)

Die Projektion auf die

x

,y-Ebene wäre

\vec{x} = (2 | - 3 | 0) + t (2 | 1 | 0)

Ist die parameterfreie Form dann

1.

x = 2 + 2 t

y = - 3 + t

2 . \cdot 2

2 y = - 6 + 2 t

1 . - 2

x - 2 y = 8

- 2 y = 8 - x

y = \frac{1}{2} x - 4

???

Danke

xx1943 aktiv_icon

07:39 Uhr, 12.10.2008

Geraden im Raum lassen sich nicht parameterfrei darstellen, wohl aber Geraden in einer Ebene. (z.B. in einer der Koordinatenebenen).

Du hast das Verfahren völlig richtig angewandt.

Im Raum kann man jede Gerade als Schnitt zweier Ebenen betrachten:

x-2y=8 ist eine zur z-Achse parallele Ebene (in dieser Ebene liegt die ursprüngliche Gerade)

z=0 ist die x-y-Ebene

Der Schnitt der beiden Ebenen ist die Projektion der ursprünglichen Geraden in die x-y-Ebene.

In die beiden anderen Koordinatenebenen kannst Du analog projezieren.

anonymous

22:44 Uhr, 12.10.2008

Gut danke.

Habe ich das soweit richtig verstanden, dass man um die Gerade

g : \vec{x} = (2 | - 3 | 4) + t (2 | 1 | - 3)

auf die

x

,y-Ebene zu projizieren eine Ebene mit folgenden Eigenschaften aufstellen muss:

1. Ein Richtungsvektor der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden. Also

{(2 | 1 | - 3)}^{T}

.
2. Der andere Richtungsvektor ist orthogonal zur

x -

und y-Achse. Also

{(0 | 0 | 1)}^{T}

.
3. Ein Punkt in der Ebene ist der Ortsvektor der Geraden. Also

{(2 | - 3 | 4)}^{T}

(1

. und 2. kann man glaub ich auch so zusammenfassen, dass der Normalenvektor der Ebene das Vektorprodukt von

{(2 | 1 | - 3)}^{T}

und

{(0 | 0 | 1)}^{T}

ist...)

Und diese Ebene mit der

x

,y-Ebene schneiden lässt, um die Schnittgerade zu bestimmen?

Danke nochmal...

anonymous

23:06 Uhr, 12.10.2008

Ich habe kurz nachgerechnet.

Wenn ich die Vektoren

{(2 | 1 | - 3)}^{T}

und

{(0 | 0 | 1)}^{T}

als Richtungsvektoren verwende und

(2 | - 3 | 4)

als Punkt in der Ebene, komme ich auch auf die Ebene

e_{2} : x - 2 y = 8

Wenn ich

z = 0

und

x - 2 y = 8

in ein LGS setzte, komm ich auf die Schnittgerade

(8 | 0 | 0) + t (2 | 1 | 0)

In parameterfreier Form

y = \frac{1}{2} x - 4

Also wieder wie oben.

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