Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » hinreichende Bedingung beim Tiefpunkt von x^4

hinreichende Bedingung beim Tiefpunkt von x^4

Schüler Gymnasium,

Tags: Analytische Geometrie, Extrema, hinreichende Bedingung, Steckbriefaufgabe, Tiefpunkt, x^4

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Niklas3D

Niklas3D aktiv_icon

18:29 Uhr, 21.04.2014

Antworten
Ich habe eigentlich eine simple Frage, über die ich jahrelang einfach so hinweggegangen bin:
Bei der Funktion f(x)=x2 existiert bekanntlich ein Tiefpunkt an der Stelle 0, was aus f'(x)=2x und f''(x)=2 bestimmt werden kann.

Wie sieht das ganze aber jetzt mit xn aus, wobei "n" eine ganzzahlige grade Zahl größer als 2 ist. Also zum Beispiel g(x)=x4:
g'(x)=4x3 und g''(x)=12x2
Die notwendige Bedinung liefert x=0, die hinreichende Bedingung g(0)=0
Und nicht! ungleich null, also laut der Definition eines Tiefpunktes, ist an der Stelle 0 des Graphen von x4 kein Tiefpunkt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Neue Frage
Niklas3D

Niklas3D aktiv_icon

19:21 Uhr, 21.04.2014

Antworten
Entschuldigung...
Für alle die die gleiche Fragen haben: www.mathe-online.at/materialien/matroid/files/ex/ex.html#4
Antwort
funke_61

funke_61 aktiv_icon

19:44 Uhr, 21.04.2014

Antworten
genau,
Auch mit der Krümmung kann man argumentieren:
Die zweite Ableitung sagt etwas über die Krümmung des Graphen aus.
g''(x)=12x2
Die zweite Ableitung ist immer grösser bzw. gleich Null. Deshalb wechselt die Krümmung von g(x) ihr Vorzeichen nicht.
g(x) ist also überall "linksgekrümmt".

Aus diesem Grund muss bei x=0 ein Tiefpunkt vorliegen.
;-)
Antwort
Philippp

Philippp aktiv_icon

19:48 Uhr, 21.04.2014

Antworten
Der entscheidende Punkt ist, dass die erste Ableitung Null ist und dass die erste Ableitung auch das Vorzeichen wechselt.
Ist die zweite Ableitung ungleich Null kann man mit Sicherheit sagen, dass die erste Ableitung das Vorzeichen wechselt.
Ist wie in dem Beispiel x4 die zweite Ableitung auch null muss man zurück zur ersten Ableitung und "handwerklich" untersuchen ob sie tatsächlich das Vorzeichen an der gefundenen nullstelle wechselt. Bei 4x3 ist das offensichtlich, da negative werte negativ bleiben und positive werte positive Werte liefern. Also ist es ein Extrema.
Gegenbeispiel x3:
Erste Ableitung 3x2 ist bei x=0 Null. Zweite Ableitung 6x ist für x=0 ebenfalls null. Somit zurück zur ersten Ableitung und siehe da, diese ändert das Vorzeichen nicht. Also handelt es sich obwohl die erste Ableitung gleich null ist nicht um ein extrema. Hier spricht man von einem terassenpunkt.
Bei manchen komplizierten Funktionen kann man sich das ausrechnen der zweiten Ableitung auch sparen, wenn es nur darum geht zu prüfen ob es sich um ein Extrem handelt. Alternativ kann man auch den vorzeichenwechsel nachweisen.