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induzierte Verteilung Würfelwurf
Universität / Fachhochschule
Zufallsvariablen
Tags: induzierte Verteilung, Minimum, Würfel, Zufallsvariablen
 
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Hallöchen, vielleicht ist ja noch jemand wach und kann mir einen Denkanstoß geben. Ich habe ein Problem bei folgendem Sachverhalt: Ein Würfel wird mal geworfen. Das Minimum der gewürfelten Augenzahlen wird mit der Zufallsgröße beschrieben. Ich müsste jetzt die induzierte Verteilung angeben, und weiß auch dass dies die jeweilige Wahrscheinlichkeit für ein Minimum ist. Ich weiß jedoch nicht wie ich die Menge der jeweils günstigen Ergebnisse berechne. Eine Variable ist ja quasi vorgeben (das Minimum), dann bleiben jeweils noch 6-Minimum möglchkeiten für den Rest. Das haut aber für schon nicht hin.. Ich hoffe mir kann jemand helfen.. LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Du musst einfach für jede der 6 Möglichkeiten die WKT dafür berechnen, dass diese Augenzahl das Minimum bei Würfen ist, also dass diese Augenzahl mindestens einmal gewürfelt wurde UND dass kein Würfel eine niedrigere Augenzahl hat (aber Achtung, diese beiden Ereignisse sind nicht unabhängig voneinander). Für ist es einfach, denn da bedeutet das nur, dass mindestens eine 1 gewürfelt wurde FÜR gibts dann schon ein wenig mehr zu arbeiten. Für ist es wieder besonders leicht, denn das bedeutet schlicht, dass alle Würfe eine 6 zeigen müssen |
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Erstmal vielen Dank fürs Antworten!! Ich verstehe jedoch nicht ganz, wieso dürfen die anderen Augenzahlen nicht größer sein? Ich bin jetzt davon ausgegangen, dass zb bei gilt: ist jetzt vielleicht Formal nicht korrekt aber ich hoffe du verstehst was ich meine.. |
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Ich verstehe jedoch nicht ganz, wieso dürfen die anderen Augenzahlen nicht größer sein? Ach ja Unsinn - die anderen dürfen nicht kleiner sein! Werde das oben noch ausbessern und ergänzen. ist jetzt vielleicht Formal nicht korrekt aber ich hoffe du verstehst was ich meine.. Ja, für gibt es 6 Möglichkeiten für wenn du die Reihenfolge nicht beachtest (was bei deiner Aufgabe ja so ist) Allerdings ist da nicht jedes Ereignis gleich wahrscheinlich. ist doppelt so wahrscheinlich wie . Daher macht es Sinn, die Reihenfolge zu beachten und geordnete Paare zu betrachten, also . Damit gibt es dann mögliche Paare und insgesamt mögliche Paarungen. Daher ist . Auf den gleichen Ausdruck kommst du auch mit dem von mir oben (jetzt richtig) angegebenen . Analog kannst du durch Abzählen auf die anderen Wahrscheinlichkeiten (alles nur für von und kommen. Du kannst die ja einen Raster aufmalen und jene Felder markieren, bei denen zB 2 vorkommt und die kleinste Zahl ist, etc. |
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Okay, danke für die Mühe, ich dachte schon ich habe jetzt komplett etwas durcheinander gebracht.. meine erste Frage: wir hatten es in der Vorlesung oft so, dass man die induzierte Verteilung in abhängigkeit von (von 1 bis allgemein ausdrücken kann. ist das immer so? und ja jetzt kommt mein problem: ist wahrscheinlich eine dumme Frage, aber könntest du mir bitte noch einmal erläutern wie du auf die berechnung für kommst? und für die Zahlen 2 bis 5 hatte ich halt jeweils den Ansatz dass für die jeweils anderen Zahlen nur noch Möglichkeiten bleiben für die anderen ,,Plätze", jedoch bin ich auf keine brauchbare Rechnung gekommen.. |
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ist das immer so? Jein. Es ist durchaus denkbar, eine Verteilung anzugeben, bei der die Wahrscheinlichkeiten willkürlich gewählt werden (aber natürlich so, dass alle kleiner 1 und ihre Summe genau 1 ergibt). Aber ja, auch in dem Fall wäre es mit etwas Mühe möglich, eine Formel anzugeben, zumindest wenn der Ereignisraum endlich ist. könntest du mir bitte noch einmal erläutern wie du auf die berechnung für kommst? Damit die 1 bei Würfen das Minimum ist ist es bloß nötig, dass sie auch wenigstens einmal gewürfelt wird. "Mindestest einmal" schreit ja nach dem Gegenereignis. Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der Würfe eine 1 zeigt ist . . jedes Mal kommt eine der Zahlen wofür die WKT ja ist. Die WKT, dass zumindest einmal eine 1 gewürfelt wird ist dann die Ergänzung auf als . Für die Werte 2 bis 5 wirst du etwas mehr "schwitzen" müssen. Um etwa zu berechnen kannst du ja zB versuchen, ob du bestimmen kannst, wie viele verschiedene n-Tupel man aus den Zahlen und 6 bilden kann, wobei aber mindestens eine 4 dabei sein MUSS. ist dann diese Anzahl geteilt durch . |
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Den ersten Teil habe ich auf jeden Fall verstanden, danke für die ausführliche Erklärung. Und zu läuft es darauf hinaus, wirklich immer zu gucken welche zahlen möglich sind und die anzahl der Kombinationsmöglichkeiten zu ermitteln? für dein beispiel gibt es ja zum Beispiel jeweils 2 für 2 verschiedene Zahlen (für und eine Möglichkeit für 2 gleiche Zahlen.. Ich hatte gedacht ich übersehe da irgendwie eine offensichtliche ,,Formel".. weil das Problem ist ja dann, das auf mal würfeln zu verallgemeinern.. das war auch mein problem, dass es für kleine noch relativ klar ist, aber ich dachte dass man es irgendwie vereinfachen kann.. Habe gerade gesehen dass ich deine Aussage etwas falsch verstanden habe, nur das war genau mein problem, dass ich keine allgemeine Aussage gefunden habe. ich hätte gedacht für gibt es 1(weil die 4 ist fest = nur eine Möglichkeit)*3^n-1 Möglichkeiten sind 3 Möglichkeiten für die letzten felder) |
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ich hätte gedacht für gibt es 1(weil die 4 ist fest = nur eine Möglichkeit)*3^n-1 Möglichkeiten Naja, dann überleg mal, ob du für damit auf das richtige Ergebnis kommst. Für gibt es 5 Paare und Deine Formel liefert . Das sind nur die drei Paare, bei denen die 4 an erster Stelle steht. Und solltest du jetzt auf die schlaue Idee kommen, deinen Ausdruck noch mit zu multiplizieren, weil die 4 ja an jeder beliebigen Stelle sitzen darf, dann ist das leider auch nicht richtig, denn du würdest für dann fälschlicherweise rausbekommen weil du damit das Paar doppelt zählst. Für allgemeines würdest du jedes n-Tupel mit mehr als einer 4 mehrfach zählen. Aber sooo schwer ist es ja zum Glück nicht. Nehmen wir als Beispiel . Wir möchten also n-Tupel haben, die nur aus den Zahlen gebildet werden und in denen mindestens einmal eine 4 vorkommt. 1.Schritt: Wie viele n-Tupel gibt es, die aus den Zahlen gebildet werden. Dass wir eine 4 dabei haben möchten lassen wir zunächst außer acht. Versuchen wir mal ein so ein n-Tupel anzuschreiben. Wie viele Möglichkeiten haben wir für die erste Position? ich denke wir können uns auf 3 einigen oder 6 können wir hinschreiben). Wie viele Möglichkeiten haben wir für die zweite Position? Wird nicht viel anders sein, oder. Und das Ganze eben bis zur n-ten Position. Das alles miteinander multipliziert und wir haben es. 2. Schritt: Im ersten Schritt haben wir noch zugelassen, dass eventuell keine 4 dabei ist. unsere Anzahl ist noch zu groß. Wir müssen davon noch die Anzahl der n-Tupel subtrahieren, in denen nur 5 und 6 vorkommen. Diese Anzahl kannst du ganz analog der Vorgehensweise im ersten Schritt ermitteln. Zu guter Letzt subtrahierst du die Anzahl aus Schritt 2 von der Anzahl aus Schritt teilst das Ergebnis durch und hast schon bestimmt. |
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Ja genau, das war das Problem ab dem ich nicht weiter wusste, mit dem doppelt zählen von einigen Tupeln. Aber vielen vielen Dank ich habe es jetzt nachvollziehen können und soweit auch verstanden. Ich denke ich habe sogar die allgemeine ,,Formel" für die Wkt in Abhängigkeit des Minimums gefunden. Vielleicht könntest du ja nochmal das okay geben ob das formal so in Ordnung ist: als induzierte Verteilung Danke und LG |
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kann man noch ausrechnen und es gilt Oder was soll dieses bei dir sonst bedeuten? Deine Summe die du da anschreibst muss aber natürlich 1 ergeben denn es kann ja wohl auch als sicher gelten, dass irgend ein Wert aus das Minumum ist. Die WKT-Summe jeder Verteilung muss ja 1 sein. Also ist die Verteilung nicht durch ihre Summe gegeben sondern durch die Angabe der einzelnen WKTen. |
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Okay, vielen Dank nochmal! Ich habe nochmal eine Nachfrage bei einer ähnlichen Aufgabe, die sich auf den selben Sachverhalt für bezieht. Man betrachtet nun die Anzahl der unterschiedlichen Augenzahlen.. Ich hatte folgende Ideen: es gibt: 0 unterschiedliche Augenzahlen, 2 unterschiedl. AZ, 3 unterschiedl. AZ und 4 unterschiedl. AZ, wobei 2 unterschiedliche AZ die Tupel einschließt. Mein Ansatz war: 0 unterschiedl. AZ ist klar: 6 Möglichkeiten 4 unterschiedl. AZ auch klar: Mögl. 3 unterschiedl. AZ: es gibt Mögl., die zwei gleichen Zahlen anzuordnen, 6 Mögl. für die eine Zahl, 1 Mögl. für die identische Zahl, 5 für die weitere und 4 für die letzte daraus folgen dann Mögl. für die 2 unterschiedl. AZ habe ich jetzt keine Rechnung gefunden, welche auf das richtige Ergebnis kommt. Kann ich dann einfach das Komplement bilden und gut ist? Danke schonmal im voraus! |
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und ich hätte auf jeden Fall auch keine Idee, wie das allgemeingültig ausgedrückt werden könnte.. |
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Anstelle von 0 unterschiedlichen würde ich eher von 1 untersch. sprechen. Mit deinen Ausführungen bin ich soweit einverstanden und natürlich könntest du die fehlenden auch als Ergänzung erhalten. Eleganter und befriedigender ist es aber allemal, sich das ebenfalls herzuleiten und dann als Probe kontrollieren, ab in Summe rauskommt. Für 2 unterschiedliche sind eben zwei Fälle zu unterscheiden Zwei Paare. Wähle also die beiden Zahlen und dann die Plätze für das erste Paar Ein Drilling und ein Solist. Wähle den Drilling, wähle den Solist, wähle den Platz für den Solist In Summe gibts also Fälle für zwei unterschiedliche AZ Wie man die Abbildung in vernünftiger Weise als geschlossenen Ausdruck schreiben könnte weiß ich auch nicht. Ein nicht ganz ernst gemeinter (mathematisch aber durchaus korrekter) Ansatz wäre Für kommen da in der Tat die gewünschten Werte raus. |
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Danke für die schnelle Antwort! So hatte ich mir das auch schon ähnlich überlegt, jedoch muss ich dann einen Fehler gemacht haben... zu dem Drilling und Solist: ich wähle den Platz für den Solist, das sind 4 Möglichkeiten. Dann gibt es 6 Mögl. für den Drilling und dann noch 5 für den Solist. Dh. Möglichkeiten,okay Mein Fehler liegt bei den zwei Paaren.. für die Augenzahl des ersten Paares gibt es für die Augenzahl des 2. Paares 5 Mögl., wie komme ich jetzt ohne aufzeichnen .ä. auf die Anzahl der möglichen Positionen? gibt mir nicht das richtige Ergebnis.. und gibt es dann eine Möglichkeit das Ganze allgemein auszudrücken oder reicht es hier, die einzelnen Fälle zu notieren? |
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gibt mir nicht das richtige Ergebnis.. Doch, aber dein Fehler liegt schon im Vorherigen: für die Augenzahl des ersten Paares gibt es für die Augenzahl des 2. Paares 5 Mögl., Tja, und wo ist der Unterschied, wenn wir fürs erste Paar die "5" und fürs zweite Paar die "3" zu dem Fall, wo wir fürs erste Paar die "3" und fürs zweite Paar die "5" wählen? Du hast jede Möglichkeit doppelt gezählt. Besser daher mit Komination ohne Whg: Wir wählen die beiden Zahlen für die Paar aus den 6 Möglichkeiten und dann eben noch mit den 6 Positionierungsmöglichkeiten multiplizieren und gibt es dann eine Möglichkeit das Ganze allgemein auszudrücken Wie schon geschrieben will mir da auch nchts einfallen oder reicht es hier, die einzelnen Fälle zu notieren? Ich denke ja, eine Verteilungsfunktion wie diese kann ja durchaus auch nur tabellarisch festgelegt werden. |
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Ahh ja das war mal wieder mein Fehler.. Dankeschön für die Hilfe und die sehr guten und ausdauernden Erklärungen! Liebe Grüße und einen schönen Wochenstart! |
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