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komplizierte Ableitung

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Kettenregel, Produktregel

problemset5 aktiv_icon

17:40 Uhr, 16.05.2015

Hallo Cracks,

kann mir einer bei der Vorgehensweise für die Ableitung des folgenden Terms helfen? (soll nach

q

abgeleitet werden)

\frac{1}{4} \cdot {[(20 - y) - (1 + x) \cdot q]}^{2} \cdot q

Bitte nach

q

ableiten. Ich weiß, dass man hier Ketten

u

produktregel braucht, jedoch komme ich einfach nicht auf das richtige ergebnis:

\frac{20 - y}{3 \cdot (1 + x)}

oder zweites ergebnis

\frac{20 - y}{1 + x}

Freue mich auf eure Vorschläge!
Vielen Dank Leute :-)
Beste Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kettenregel
e-Funktion

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Matlog aktiv_icon

18:05 Uhr, 16.05.2015

Schon seltsam, dass in der Ableitung kein

q

mehr vorkommt!
Dabei sieht die Funktion gar nicht linear aus...

Ach so, die "Ergebnisse" sollen die Nullstellen der Ableitungsfunktion sein?

Produktregel und Kettenregel sind Dir doch sicher bekannt, oder?
Dann schreib doch mal hier Deinen Versuch auf, so weit Du gekommen bist.
Dann wird Dir sicher weiter geholfen!

problemset5 aktiv_icon

18:10 Uhr, 16.05.2015

danke. achso ja sind die nullstellen... hab ich vergessen zu erwähnen.

ich schreib mal meine versuche zusammen. dauert ein bissl

problemset5 aktiv_icon

18:15 Uhr, 16.05.2015

[

(20−y)−(1+x)⋅q]^2*

\frac{1}{4} q

nun das vorgehen bei der Ableitung.

Mit der kettenregel habe ich angefangen.

damit ergibt sich dann

2*

[

(20−y)−(1+x)⋅q]*-(1+x) (Kettenregel)

\cdot \frac{1}{4} \cdot q

hier weiß ich jetzt nicht, was ich noch ableiten muss um die Nullstellen zu erhalten. >Produktregel?! wenn ja, wie, denn hier sind gleich mehrere Produkte (vor allem das

q

in der

[] . .

Matlog aktiv_icon

18:24 Uhr, 16.05.2015

Deine gesamte Funktion ist keine Verkettung, sondern (zunächst) ein Produkt!
Deshalb ist hier nach Produktregel abzuleiten.
Erst wenn Du (innerhalb der Anwendung der Produktregel) an die Stelle kommst, wo der erste Faktor abgeleitet werden soll, dann kommt die Kettenregel ins Spiel.

Atlantik aktiv_icon

18:25 Uhr, 16.05.2015

\frac{1}{4} \cdot {[(20 - y) - (1 + x) \cdot q]}^{2} \cdot q

... ... ... ... ... ... ... .

{{[(20 - y) - (1 + x) \cdot q]}^{2} \cdot q}

´=

u = {[(20 - y) - (1 + x) \cdot q]}^{2} \to u

= 2 \cdot [(20 - y) - (1 + x) \cdot q] \cdot [(- (1 + x)]

v = q \to v

= 1

Nun mit der Produktregel zusammensetzen. Am Ende die

\frac{1}{4}

nicht vergessen.

mfG

Atlantik

problemset5 aktiv_icon

18:36 Uhr, 16.05.2015

vielen dank. somit steht dann dort:

\frac{1}{4} \cdot {{2 \cdot [(20 - y) - (1 + x) \cdot q] \cdot [- (1 + x)] \cdot q + (20 - y) - (1 + x) \cdot q]}^{2} \cdot 1}

und das ist meine Ableitung?
ich habe nun mein urpsrüngliches produkt

u \cdot v

nach Produktregel abgeleitet und für

u'

die Kettenregel eingesetzt. was mir noch nicht klar ist, ist wie ich jetzt auf mein ergebnis komme... das sieht alles noch sehr kompliziert aus, lässt sich hier etwas rauskürzen bzw. vereinfachen, damit man

q = . .

. erhält?

danke!

problemset5 aktiv_icon

18:37 Uhr, 16.05.2015

völlig richtig. ich bin mir eben nur nicht mehr sicher, ob ich nach der produkt regel

(u

bei deren anwendung brauche ich zwangläufig auch mal die kettenregel) noch einmal eine regel anweden muss oder ob ich dann fertig bin.
Ableitungen sind gut

4 - 5

jahre her bei mir...

pleindespoir aktiv_icon

18:38 Uhr, 16.05.2015

Methode des schrittweisen Aufräumens und Überblickverschaffens:

\frac{1}{4} \cdot [(20 - y) - (1 + x) \cdot q]^{2} \cdot q

1. Konstante Vorfaktoren nebenhinschreiben und merken um sie ganz am Schluss wieder einzusetzen:

[(20 - y) - (1 + x) \cdot q]^{2} \cdot q

Terme, die nicht die abzuleitende Variable enthalten sind Konstanten und können durch einfachere Ausdrücke ersetzt werden:

a = (20 - y)

[a - (1 + x) \cdot q]^{2} \cdot q

b = - (1 + x)

[a + b \cdot q]^{2} \cdot q

Jetzt ist das schön übersichtlich und anstelle der Ketten - und Produktregel könnte man ausmultplizieren:

[a^{2} + 2 a b \cdot q + b^{2} q^{2}] \cdot q

das war die binomische Formel übrigens

a^{2} \cdot q + 2 a b \cdot q^{2} + b^{2} q^{3}

was sich nun schmerzlos ableiten lässt

problemset5 aktiv_icon

18:40 Uhr, 16.05.2015

ziemlich cooler trick, danke dir!

:-)

Matlog aktiv_icon

18:45 Uhr, 16.05.2015

Deine Ableitung von

18 : 36

Uhr war richtig!
Hier kannst Du jetzt den langen Faktor, der immer in der eckigen Klammer steht, ausklammern.

Das hat gegenüber pleindespoirs Vorschlag den Vorteil, dass man nicht langwierig die quadratische Gleichung lösen muss. Das geht aber natürlich auch.

pleindespoir aktiv_icon

18:51 Uhr, 16.05.2015

Gemeint war vermutlich die binomische Formel.
Mein "cooler Trick" ist auch nur für Anfänger praktisch, die mit den anderen Diff-Regeln noch nicht so sicher sind.
Aber das Ausräumen von Konstantengewirr geht immer!

problemset5 aktiv_icon

18:59 Uhr, 16.05.2015

Ich danke euch alles vielmals! jeder einzelne Beitrag hat mir sehr geholfen und ich habe dabei auch noch unheimlich viel gelernt und mitgenommen. vielen vielen Dank!!!

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