Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » polynomdivision herleitung

polynomdivision herleitung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Polynomdivision

Acacia aktiv_icon

15:20 Uhr, 30.03.2011

hallo leute, ich hab mal ne frage:

also, wie man eine polynomdivision durchführt habe ich bereits gelernt und den hintergrund gedanken habe ich auch verstanden. nur interessiert mich im moment, wieso die polynomdivision so funktioniert, wie sie funktioniert.

(2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 36) : (x + 2) = 2 x^{2}

- (2 x^{3} + 4 x^{2})

- - - - - - - - -

- 7 x^{2} + 4 x + 36

wenn ich hier

z . b

. eine polynomdivision durchführe, teile ich ja den ersten summanden durch

x

und multipliziere das ganze dann mit

(x + 2)

und subtrahiere es dann von der funktion. aber wieso macht man das so? gibt es da einen beweis oder kann man das irgendwie veranschaulichen?

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Polynomdivision

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Grenzwerte im Unendlichen
Nullstellen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

18:41 Uhr, 30.03.2011

Hallo,

eigentlich läuft die Sache wie bei der schriftlichen Division ganzer Zahlen. Hast du da verstanden, warum das funktioniert?
Dann kannst du das alles problemlos übertragen.

Wenn nicht (wie ich aufgrund deiner Frage annehmen muss), dann rechne ich dir mal das ganz ohne Abkürzung vor.

Voraussetzung ist wie immer, dass man gut multiplizieren (hier besonders: gut AUSmultiplizieren) und auch ausklammern kann.
Wie wollen also

2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 36

teilen durch

x + 2

. Wie bei der schriftlichen Division zerlegt man den Dividenden (das, was geteilt werden soll) in kleinere Summanden.
Der erste Teil muss irgendwie mit

2 x^{3}

zu tun haben. Wie kann ich etwas naheliegendes finden, sodass

2 x^{3} \pm ?

durch

x + 2

teilbar ist? (würde ich in der Schule fragen)
Meist wissen die Schüler nicht, kommen aber schnell auf die Idee, dass das Ergebnis von

(2 x^{3} \pm ?) : (x + 2)

eben

2 x^{2}

sein muss (aus Gradgründen).

Naja, um dann auf den richtigen Term zu kommen, muss man wohl oder übel rückwärts rechnen, also

2 x^{2} (x + 2)

. Dabei kommt

2 x^{2} (x + 2) = 2 x^{3} + 4 x^{2}

heraus.

AHA!

Also muss ich im ersten Schritt den Term

2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 36

zerlegen in

2 x^{3} + 4 x^{2} \oplus \dots = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 36

. (I)
Die Frage ist, wie man die Punkte (

\dots

) bekommt. Nun, subtrahieren ist wohl die beste Idee, da in (I) ja addiert wird (beachte das umkringelte Additionszeichen!).

2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 36 - (2 x^{3} + 4 x^{2}) = - 7 x^{2} + 4 x + 36

So, der erste Schritt ist getan! Wir haben

2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 36 = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x^{2} + 4 x + 36

, d.h. der höchste Exponent ist abgearbeitet. Nun müssen wir an den zweiten Exponenten (von jetzt ab etwas schneller und ohne die langen Erklärungen):

- 7 x^{2} \pm ? = - 7 x (x + 2) = - 7 x^{2} - 14 x \Rightarrow - 7 x^{2} + 4 x + 36 - (- 7 x^{2} - 14 x) = 18 x + 36

Damit haben wir den zweiten Schritt erledigt:

2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 36 = (2 x^{3} + 4 x^{2}) - 7 x^{2} + 4 x + 36 = (2 x^{3} + 4 x^{2}) + (- 7 x^{2} - 14 x) + 18 x + 38

Bei

18 x \pm ? = 18 (x + 2) = 18 x + 36

erkennt man, dass der Rest schon eine geeignete Form hat und deshalb die Division aufgehen wird (ohne Rest).

Wir haben also:

2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 36 = (2 x^{3} + 4 x^{2}) + (- 7 x^{2} - 14 x) + (18 x + 38) = 2 x^{2} (x + 2) - 7 x (x + 2) + 18 (x + 2)

= (2 x^{2} - 7 x + 18) (x + 2)

oder als Division ausgedrückt:

(2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 36) : (x + 2) = 2 x^{2} - 7 x + 18

So, ich finde es gut, diese Frage zu stellen und hoffe, dass dir die Antwort geholfen hat. Übrigens wäre der richtige Kandidat (na, ja, vielleicht auch nicht) dein Mathelehrer in der Grundschule gewesen, um die Frage zu beantworten. Aber der (oder von mir aus auch die) hat euch sicher nicht erklärt, WARUM man so rechnet, gell?

Mfg Michael

matheexperte1980 aktiv_icon

21:33 Uhr, 09.12.2012

Hallo,

diese Darstellung der Polynomdivision ist wirklich gut. Woher hast du das? In welchem Lehrbuch kann man so etwas finden?

Gruß

michaL aktiv_icon

22:46 Uhr, 09.12.2012

Hallo,

ganz schön alte Klamotte hast du da ausgegraben.
Ich nehme an, dass die Frage, woher das stamme, an mich geht, daher antworte ich auch darauf.
Klingt albern, aber: selbst überlegt.

Irgend jemand muss das ganze ja auch mal "erfunden" haben. (Nein, ich war das nicht...)

Verständnis ist meines Erachtens die beste Methode, Mathematik zu lernen. Und mit Verständnis ist nicht (nur) gemeint, dass man lernt, was man rechnen muss, sondern vor allem warum! Das "warum" führt automatisch zum "was".
Leider begnügen sich viele (in der Schule sogar: die meisten) mit dem "was" und lernen niemals das "warum".

Mfg Michael

rent123 aktiv_icon

16:46 Uhr, 02.08.2013

Hallo Michael,
prima Erklärung.
Kannst Du mir die Methode der Polynom-Division mal mit ganzen Zahlen erklären

z . B . :

352 : 16 = 22

(ist klar)

aber jetzt die Division als 2 Summen geschrieben:

(300 + 50 + 2) : (10 + 6) = 30 +

???

- (300 + 180)

- - - - -

0 - 130 + 2

Was mache ich da falsch bzw. wo liegt mein Gedankenfehler ?
Gruss Reinhardt

Atlantik aktiv_icon

17:50 Uhr, 02.08.2013

Hier ist ein interaktiver Link zur Polynomdivision:

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

mfG

Atlantik

michaL aktiv_icon

20:43 Uhr, 02.08.2013

Hallo,

-130 + 2,

nun wieder durch 10, ergibt -13, Subtrahend ist dann -130-78, bleibt also 78+2.
Je nachdem, wie du das weiter machen möchtest, wären 78 durch 10 gleich 7 Rest 8.
Subtrahend: 70+42, haben also 70+8+2-(70+42)=-32=-30-2

Und so weiter...
Ob das irgendwann abbricht, habe ich nicht geprüft, sollte aber.

Mfg Michael

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1107259

873317

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?