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punkt auf geraden,von A u B gleichweit entfernt

Schüler

Tags: Entfernung, Punkt, Raum, Vektoren

 
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nina-alexandra

nina-alexandra aktiv_icon

11:30 Uhr, 30.03.2012

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hallo zusammen !

ich glaube für mein problem brauche ich nur eine bestimmte formel anzuwenden , komme leider nicht darauf welche !

das bsp : Welcher Punkt der Geraden x=(5;11;1)+t(3;7;-1) ist von A(4;1;4) und B(2;5;-2) gleichweit entfernt ?

wenn ich A und B mit der geraden gleichsetzte also schenide, erhalte ich jew. 3 ergebnisse für t, da die ergebnisse nicht die gleichen sind, weiss ich, dass AuB NICHT auf g liegen , richtig ?

die formel für d ist betrag von vektor PS , also S-P und dann den betrag davon , oder ?

das würde heißen Stützpunkt der geraden (5;11;1) minus dem punkt B, das ergibt :(3;6;3) und der betrag davon ist WUrzel54 , also 7,35. das wäre dann abstand vom Stützpunkt der Geraden zum Punkt B, richtig ?

mache ich das gleiche mit A, erhalte für Vektor PS (1;10;-3) und für den betrag davon , also für d, Wurzel110, was 10,49 entspricht.

dann ahbe ich außerdem Vektor AB (=(-1;2;-3) berchnet und Vektor BA(= 1;-2;3); außerdem M=A+B2 was (3;3;1) ergibt.


das richtige ergebnis lautet (2;4;2)

bitte um hilfe !

DANKE DANKE DANKE DANKE
mfg nina

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Antwort
michael777

michael777 aktiv_icon

12:01 Uhr, 30.03.2012

Antworten
der Abstand |AX| ist gleich dem Abstand |BX|
die Punkte A und B sind gegeben, für X setzt du den "allgemeinen Punkt der Geraden" also (5+3t|11+7t|1-t) ein

|AX| = |BX|

(5+3t-4)2+(11+7t-1)2+(1-t-4)2=(5+3t-2)2+(11+7t-5)2+(1-t+2)2

vereinfacht:
(1+3t)2+(10+7t)2+(3+t)2=(3+3t)2+(6+7t)2+(3-t)2
binomische Formeln anwenden und zusammenfassen
56t=-56
t=-1

t=-1 in die Geradengleichung einsetzen und man erhält (2|4|2)
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Bummerang

Bummerang

14:24 Uhr, 30.03.2012

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Hallo,

anderer Ansatz: Alle Punkte, die von A und B gleichweit entfernt sind, liegen in einer Ebene, die orthogonal zur Geraden durch A und B ist und die durch den Mittelpunkt von A und B geht. Der Mittelpunkt ist (331) und die Ebene kann durch eine Gleichung dargestellt werden, deren Koeffizienten gleich einem Richtungsvektor der Geraden sind, also z.B. 0A-0B=(2-46), und auf der rechten Seite steht der Wert, der sich durch Einsetzen eines Punktes der Ebene ergibt, da nimmt man den Mittelpunkt von A und B:

2⋅3-4⋅3+6⋅1=6-12+6=0

Die Gleichung der Ebene ist demnach

2⋅x1-4⋅x2+6⋅x3=0

Um den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden zu ermitteln, kann man die Gerade ebenfalls als Gleichungssystem darstellen. Die Koeffizienten sind z.B. die orthogonalen Vektoren (103) und (017) und für die rechten Seiten nimmt man den Punkt aus der Geradengleichung:

1⋅5+0⋅11+3⋅1=5+3=8
0⋅5+1⋅11+7⋅1=11+7=18

Das ergibt die Gleichungen:

1⋅x1+0⋅x2+3⋅x3=8
0⋅x1+1⋅x2+7⋅x3=18

Das entstandene Gleichungssystem ist zu lösen:

1⋅x1+0⋅x2+3⋅x3=8    ;     bleibt unverändert
0⋅x1+1⋅x2+7⋅x3=18    ;     bleibt unverändert
2⋅x1-4⋅x2+6⋅x3=0    ;     das doppelte der ersten Zeile wird abgezogen

1⋅x1+0⋅x2+3⋅x3=8
0⋅x1+1⋅x2+7⋅x3=18
0⋅x1-4⋅x2+0⋅x3=-16

Die letzte Zeile liefert schon die Lösung

x2=4

Das in die mittlere Gleichung eingesetzt ergibt:

7⋅x3=18-4=14⇒x3=2

Und aus der ersten Gleichung ergibt sich:

x1=8-3⋅2=2

Als Lösung erhält man natürlich auch (242).
Frage beantwortet
nina-alexandra

nina-alexandra aktiv_icon

15:05 Uhr, 30.03.2012

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da ist ja einer schlauer als der andere ;-)

nein , ohne spaß - habe sowohls michael777alsauchbummerangsansatzsehrgutnachvollziehenkö∩en.

wie immer verbleibe ich höchst dankbar und wünsche euch ein wunderbares wochenende !



glg nina