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vektorrechnung gleichschenkliges dreieck

Schüler

Tags: dritter punkt p gesucht, Gleichschenkliges Dreieck, Punkt

hthie aktiv_icon

15:59 Uhr, 18.08.2023

Es existieren Punkte

P

für die die Punkte

A, B

und

P

ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis PB
bilden,

A (2,0,2) B (3,2, - 3)

. Ermittle die Koordinaten dieser Punkte P.
Bei dem von mir gefundene Dreieck ist die Seite PB doppelt so lang wie die Schenkel AB und PA und außerdem existiert nur ein Punk P.
Kann mir bitte zu einer Lösung geholfen werden? Dafür vielen Dank im Voraus. hthie

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

calc007

16:21 Uhr, 18.08.2023

Hallo
Aus dem Aufgabentext wage ich doch lesen zu können:

>

PB ist die Basis, soll wohl heissen die verbleibende Nicht-Schenkel- Dreiecksseite,

> d . h

. AB und AP sind die (gleich-langen) Schenkel.

Viel mehr kann ich dem Aufgabentext nicht entnehmen.

Wie lang ist denn der Schenkel AB ?
Wie lang ist demnach der Schenkel AP ?

Ist dir klar, dass jeder Punkt

P,

der diesen Abstand von A hat, in Frage kommt?
Wie würde man denn ein Gebilde nennen, dessen Abstand von A diesen (konstanten) Abstand hat?

hthie aktiv_icon

17:32 Uhr, 18.08.2023

PB ist die Basis. Die Schenkel AB un AP sind 5.477LE lang.

calc007

17:41 Uhr, 18.08.2023

Ja, die Schenkel sind

\sqrt{30}

lang.

Immer wieder interessant, wie im onlinemathe eine Antwort auf vier Fragen gegeben wird.
Ich mag dann immer argwöhnen, dass sich die Teilnehmer um die Antwort der anderen Fragen drücken.
Wie würdest du denn ein Gebilde der angedachten Form im drei-dimensionalen Raum nennen?

Vielleicht hilft's zum Verständnis zum Tun...
:-)

hthie aktiv_icon

17:56 Uhr, 18.08.2023

Zunächst: Der Text stammt aus dem Original. Wenn nun die Schenkel 5.477LE lang sind und meine Basis dann das Doppelte beträgt hab ich doch kein gleichschenkliges Dreieck. Wo liegt denn mein Fehler(
MfG hthie

calc007

18:06 Uhr, 18.08.2023

Ich weiß ja nicht, was du treibst.

: - (

Rein wörtlich könnte man ja antworten, dass ein gleichschenkliges Dreieck doch gleichschenklig bleibt, egal wie lange die Basis ist.

Nein, ich ahne ich muss weiter auf's Pferd lupfen:
Ein Gebilde im drei-dimensionalen Raum mit konstantem Abstand von einem Punkt wird man doch gemeinhin
KUGEL
nennen.

Was weißt du von der Kugel?

hthie aktiv_icon

18:15 Uhr, 18.08.2023

ich treibe nichts mehr. Der Seniorenpass wurde vor

23

Jahren erstellt. Unabhängig davon sollten ja auch noch die Parameter von

P

erstellt werden. Das Ganze befriedigt mich nicht. Von der kugel kenne ich die ganzen Gleichungen. Wie komm ich den hier auf eine Kugel? Mathematiker bin ich beileibe nicht. Falls ich hier fehl bin genügt ein kurzer Hinweis.
MfG hthie

calc007

18:24 Uhr, 18.08.2023

Na ja, wir wissen doch, dass alle Punkte

P

einen Abstand von

\sqrt{30}

vom Punkt A haben.
Also ist dies doch
eine Kugel
mit Mittelpunkt

A = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

und dem Radius

r = \sqrt{30} =

ca.

5,477

Meinst du, du kannst dies so beschreiben, dass daraus die Kugel-Koordinaten erklärt sind?

Randolph Esser aktiv_icon

21:13 Uhr, 18.08.2023

Ein

P \in R^{3}

ist eine Lösung genau dann, wenn

| P - A | = | B - A | = \sqrt{{(3 - 2)}^{2} + {(2 - 0)}^{2} + {(- 3 - 2)}^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}

.

Die Lösungsmenge ist also

L := \partial B (A, \sqrt{30}),

wobei

B (A, \sqrt{30})

der offene Ball um A mit Radius

\sqrt{30}

R^{3}

und

\partial B (A, \sqrt{30})

dessen Rand, also die entsprechende Kugelsphäre ist.

L

liefert auch die entarteten Dreiecke

A, B, B

und

A, B, C := A + (A - B),

die nichts weiter als Strecken sind.

Wenn man das nicht will, definiere man

L \ {B, C}

als die Lösungsmenge.

Will man

L

über die Koordinaten ihrer Elemente definieren, geht

z . B

L := {P = (P_{x}, P_{y}, P_{z}) \in R^{3} : P_{x} \in [2 - \sqrt{30}, 2 + \sqrt{30}],

P_{y} \in [- \sqrt{30 - {(P_{x} - 2)}^{2}}, \sqrt{30 - {(P_{x} - 2)}^{2}}],

P_{z} \in {2 - \sqrt{30 - {(P_{x} - 2)}^{2} - P_{y}^{2}}, 2 + \sqrt{30 - {(P_{x} - 2)}^{2} - P_{y}^{2}}}}

hthie aktiv_icon

09:48 Uhr, 19.08.2023

Bis zum "entarteten" Dreieck bin ich gekommen. Das Weitere ist für mich neu. Vielen Dank hthie

calc007

12:13 Uhr, 19.08.2023

Wenn ich in meinen Worten vorschlagen darf:

Alle Punkte

P

mit den Koordinaten

(x; y; z)

{(x - 2)}^{2} + {(y - 0)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 30

erfüllen die Aufgabenforderung nach einem gleichschenkligen Dreieck ABP .

Hmmmm, und sorry, ich gestatte mir noch eine Nachbemerkung.
Von
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
und
"Von der kugel kenne ich die ganzen Gleichungen."
sind wir jetzt eben ein klein wenig abgerückt.

hthie aktiv_icon

15:49 Uhr, 19.08.2023

Vielen Dank. hthie

Sukomaki aktiv_icon

11:55 Uhr, 20.08.2023

So richtig interessant wird es erst, wenn wir die Beschränkung auf einen Basis-Winkel gültig machen.

Zum Beispiel die Vorgabe

α = \frac{π}{4}

Das ergibt nicht nur ein gleichschenkliges, sondern auch ein rechtwinkliges Dreieck.

Die Lösung lautet dazu :

(P_{x}, P_{y}, P_{z}) = (- \frac{1}{13} y + 2 \pm \frac{5}{26} \sqrt{- 30 y^{2} + 780}, y, - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{121 - 4 x^{2} + 20 x - 4 y^{2} + 8 y})

SCNR :-D)

Sukomaki

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