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Definitionmenge und Lösungsweg

Universität / Fachhochschule

Tags: Definitionsmenge, Differentialgleichung

 
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pivot

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07:46 Uhr, 10.04.2024

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Hallo,

ich habe folgende Differentialgleichung

x⋅yʹ=y-1

Umstellen

1y-1dy=1xdx

Hier muss man x=0 ausschließen.

Am Schluss erhält man die Funktion

y=cx+1∀x∈R∖{0}

Ist es richtig die 0 auszuschließen? Wenn ja, wie muss ich vorgehen, damit ich mit entsprechender Differentialgleichung eine lineare Gleichung erhalte, die auf ganz R definiert ist.
Danke im Voraus für eure Aufmerksamkeit bezüglich der Frage

Grüße
pivot
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
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Antwort
HAL9000

HAL9000

08:13 Uhr, 10.04.2024

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In dem Moment, wo du durch x dividierst, schließt du x=0 aus. Übrigens schließt du auch y=1 aus, weil du durch y-1 dividierst. ;-)

Alles halb so schlimm: Du bekommst am Ende das Resultat, dass jede Lösung auf ℝ\{0} die Gestalt haben muss

y={c1x+1 für x<0c2x+1 für x>0

Nun willst du aber eine Lösung auf ganz ℝ, was ist da noch zu tun:

1) Stetiger Übergang im Punkt x=0: Kein Problem, wenn man y(0)=1 setzt.

2) Differenzierbarkeit im Punkt x=0: Ist gewährleistet, sofern c1=c2 gilt.

Voilà, damit haben wir unsere Lösung auf ganz ℝ, bei der übrigens auch c=0 möglich ist - warum?
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