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Grenzwert einer Wurzelfolge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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20:31 Uhr, 07.04.2013

Guten Abend,
Ich habe eine Folge mit deren Grenzwert ich etwas Schwierigkeiten habe:

a_{n} = \sqrt{n} \cdot (n_{\sqrt{n}} - 1)

Ich weiß schon mal, dass es eine Abschätzung gibt:

Für alle

n \in ℕ

gilt:

n_{\sqrt{n}} \leq 1 + \frac{2}{\sqrt{n}}

Und folglich:

\sqrt{n} \cdot (n_{\sqrt{n}} - 1) \leq 2

Weiterhin ist

\sqrt{n} \geq 1

und

n_{\sqrt{n}} - 1 \geq 0

und deshalb der gesamte Ausdruck

\geq 0

.

Also liegen alle Folgenglieder im Intervall

[0,2]

.

Mein Taschenrechner verrät mir ja, dass der Grenzwert 0 ist, aber ich weiß nicht, wie ich das ausrechnen soll.
Bitte um Hilfe^^

P . S . :

Kann mir einer sagen, wie man die n-te Wurzel hier eingibt, möglichst ohne dabei Latex zu verwenden?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

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20:59 Uhr, 07.04.2013

"\root(n)(n)" wird im Text-Modus ohne Anführungszeichen zu

\sqrt[n]{n}

Die Abschätzung

\sqrt[n]{n} - 1 \leq \frac{2}{\sqrt{n}}

ist nun nicht ausreichend um den Grenzwert der Folge zu ermitteln, also versuche eine nicht ganz so grobe Abschätzung zu finden.

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21:13 Uhr, 07.04.2013

Danke, auf den Code wäre ich nie gekommen :-D)

Also was genau meinst du mit "nicht ganz so stark"?
Diese Abschätzung hatte ich gemacht, um zu zeigen, dass

a_{n}

beschränkt ist. Ich müsste halt noch irgendwie zeigen, dass

a_{n}

monoton steigend oder fallend ist.

Also insofern war es nicht als Ansatz zur Berechnung des Grenzwertes gedacht. Denn dazu fehlt mir jegliche Idee, leider.

Edit: Das einzige woran ich denke, ist, dass der Faktor

\sqrt[n]{n} - 1

gegen 0 wandert, weil

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

und somit das Produkt auch 0 wird, aber das scheint mir irgendwie zu einfach zu sein.

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21:18 Uhr, 07.04.2013

Hier gibt es noch mehr: www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf
Naja aber nur die Konvergenz der Folge nachzuweisen ist ja nicht dein Ziel, sondern die Ermittlung des Grenzwertes. Wie habt ihr denn

\sqrt[n]{n} - 1 \leq \frac{2}{\sqrt{n}}

hergeleitet? Schau dir das an und überlege dir wie du das Vorgehen modifizieren kannst, um eine gröbere Abschätzung zu erhalten.

Edit: Aber

\sqrt{n}

divergiert ja gegen

\infty

also hast du hier den klassischen Fall "

\infty \cdot 0

" und da kann leider alles bei rauskommen.
Zum Beispiel:

n^{2} \cdot \frac{1}{n} = n \to \infty

und

n \cdot \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{n} \to 0

und

n \cdot \frac{1}{n} = 1 \to 1

Überall hast du den Fall "

\infty \cdot 0

" aber es kommen die unterschiedlichsten Sachen heraus.

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22:24 Uhr, 07.04.2013

Okay, das hab ich mir fast gedacht.

Und wie ist es in der ausmultiplizierten Form?

\sqrt{n} \cdot \sqrt[n]{n} - \sqrt{n}

Was ja im Unendlichen dem Folgendem entspräche:

\infty \cdot 1 - \infty = \infty - \infty = 0

?

Wohl auch nicht :-D)
Ich habe versucht, den Term mal in eine andere Form zu bringen, aber ich komme einfach nicht von diesem

0 \cdot \infty

weg.

Hättest du irgendeinen Tipp?

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22:33 Uhr, 07.04.2013

Bei "

\infty - \infty

" hast du dann wieder einen unbestimmten Ausdruck. Dazu darfst du dir auch gerne mal das hier durchlesen: de.wikipedia.org/wiki/Unbestimmter_Ausdruck_%28Mathematik%29
Nochmal die Frage: Wie habt ihr denn

\sqrt[n]{n} - 1 \leq \frac{2}{\sqrt{n}}

hergeleitet?

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22:36 Uhr, 07.04.2013

Okay.

Die Abschätzung ist eine Folgerung aus dieser Abschätzung:

{(1 + x)}^{n} \geq \frac{n^{2}}{4} \cdot x^{2}

mit

x = \frac{2}{\sqrt{n}}

Welche wiederum mit dem binomischen Lehrsatz bewiesen wurde.

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23:04 Uhr, 07.04.2013

Hmm ok, ich sehe leider auf die Schnelle nicht wie ich diesen Ansatz sinnvoll anpassen kann, um eine Abschätzung zu finden, die für die obige Folge hilft. Stattdessen würde ich auf die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel zurückgreifen. Damit folgt sofort für

n

groß genug:

\sqrt[n]{n} = \sqrt[n]{\sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[4]{n} \cdot 1 \cdot ... \cdot 1} \leq \frac{4 \sqrt[4]{n} + n - 4}{n} \leq \frac{4}{n^{\frac{3}{4}}} + 1

also

\sqrt[n]{n} - 1 \leq \frac{4}{n^{\frac{3}{4}}}

Diese Abschätzung kannst du nun benutzen, um

\sqrt{n} \cdot (\sqrt[n]{n} - 1)

durch eine Nullfolge nach oben abzuschätzen.

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21:52 Uhr, 08.04.2013

Also folgendermaßen:

Da gilt

\sqrt[n]{n} - 1 \leq \frac{4}{\sqrt[4]{n^{3}}}

folgt:

0 \leq \sqrt{n} \cdot (\sqrt[n]{n} - 1) \leq \sqrt{n} \cdot \frac{4}{\sqrt[4]{n^{3}}} = \frac{4}{\sqrt[4]{n}}

\Rightarrow 0 \leq lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \cdot (\sqrt[n]{n} - 1) \leq lim_{n \to \infty} \frac{4}{\sqrt[4]{n}} = 0

Weswegen dann gilt

lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \cdot (\sqrt[n]{n} - 1) = 0

Richtig verstanden?^^

Ich habe mir die allgemeine Ungleichung von Geometrischem und Arithmetischen Mittel zwar mal angesehen (ich habe sie bisher nur für

n = 2

kennengelernt), aber mir ist nicht so ganz klar, wie du auf diesen Ausdruck kommst.

Also wieso ist

\sqrt[n]{n} = \sqrt[n]{\sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[4]{n} \cdot \sqrt[4]{n} \cdot 1 \cdot ... \cdot 1}

?
Da tappe ich leider völlig im Dunkeln :-D)

Edit: Okay, Frage erledigt. Ich habe gerade gesehen, dass da wieder

n

rauskommt.

Hab aber doch noch eine Frage: Hätte man das nicht genauso gut mit der dritten Wurzel machen können?

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22:02 Uhr, 08.04.2013

Anzumerken wäre vielleicht noch, dass da genau

n - 4

mal die 1 als Faktor auftritt damit man genau

n

Faktoren unter der Wurzel hat und die AGM-Ungleichung greift. Und ja man hätte es auch mit der dritten Wurzel machen können, aber da erhält man dann später

\frac{3}{\sqrt[6]{n}}

was ich nicht so schön fand wie

\frac{4}{\sqrt[4]{n}}

aber ist letztendlich völlig latte.

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22:15 Uhr, 08.04.2013

Gut, dann ist alles geklärt :-)

Vielen herzlichen Dank!

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22:25 Uhr, 08.04.2013

Gern geschehen.

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