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Logarithmen-/ Exponentialgleichung, Aufgabe

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: e-Funktion, Funktionalanalysis, Logarithmus

krizzy aktiv_icon

12:00 Uhr, 17.12.2015

Moin Leute,

Ich habe Probleme folgende Aufgabe zu lösen:
Aufgabe:

Eine Flasche Cola steht in der Sonne und hat zum Zeitpunkt

t 0 = 0

genau die Temperatur

T 0 = 52

°C. Zum Zeitpunkt

t 0 = 0

wird sie in die Gefriertruhe gestellt, die eine Temperatur von Tu=-11 °C hat.

Zum Zeitpunkt

t 1

wird bei der Colaflasche noch die Temperatur

T 1 = 32

°C gemessen.

Zum Zeitpunkt

t 2,

der

33

Minuten nach dem Zeitpunkt

t 1

liegt, wird erneut die Temperatur gemessen; die Colaflasche hat zum Zeitpunkt

t 2

die Temperatur

T 2 = 16

°C.

Der Temperaturverlauf der Colaflasche kann durch die Funktion

b f T (t) = T_{u} + (T_{0} - T_{u}) \cdot e^{- k \cdot t}

mit einem Koeffizietnen

k > 0

beschrieben werden.

(T 0

und Tu sind oben im Text vorgegeben.)

Frage 1:

Wie lange war die Colaflasche bis zur Messung zum Zeitpunkte

t 1

in der Gefriertruhe?

Frage 2:

Wie lange muss die Colaflasche in der Gefriertruhe sein, damit sie auf 0°C abkühlt?

Mein Problem ist, dass ich nicht auf den Koeffizienten

k

komme. Zuerst löse ich nach

- k

auf:

- k =

(ln(T(t)-Tu / T0-Tu))/t . Setzt man die gegeben Größen T0=52°C und

t = 0

ein, so kommt man auf keine Lösung. Kann ich daher

t = 33, T 0 = T 1

und dementsprechend

T (t) = 16

einsetzen?
Vielen Dank im Vorraus schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
e-Funktion

DrBoogie aktiv_icon

12:10 Uhr, 17.12.2015

Zum Zeitpunkt

0

hast Du die Gleichung

T_{0} = T_{u} + (T_{0} - T_{u}) e^{- 0 \cdot t} = T_{u} + T_{0} - T_{u} = T_{0}

. Das ist klar, dass diese Gleichung trivialerweise erfüllt ist und keine Informationen liefert.
Also sind nur die anderen Zeitpunkte interessant.
Du hast

32 = T_{t_{1}} = T_{u} + (T_{0} - T_{u}) e^{- k t_{1}}

und

16 = T_{t_{1} + 33} = T_{u} + (T_{0} - T_{u}) e^{- k (t_{1} + 33)}

. Aus diesen zwei Gleichungen kannst Du jetzt

t_{1}

und

k

ermitteln.

BeeGee aktiv_icon

12:19 Uhr, 17.12.2015

Hallo!

Gehen wir mal davon aus, dass man die °C und die Minuten nicht noch in andere Einheiten umrechnen soll. Dann hast Du doch zwei Gleichungen (die Einheiten lasse ich weg):

32 = - 11 + (52 - (- 11)) \cdot e^{- k \cdot t_{1}}

32 = - 11 + 63 \cdot e^{- k \cdot t_{1}}

und

16 = - 11 + 63 \cdot e^{- k \cdot t_{2}}

16 = - 11 + 63 \cdot e^{- k \cdot (t_{1} + 33)}

16 = - 11 + 63 \cdot e^{- k \cdot t_{1}} \cdot e^{- k \cdot 33}

Daraus solltest Du

k

bestimmen können. Bei mir wäre

k \approx 0,0141 {min}^{- 1}

krizzy aktiv_icon

12:58 Uhr, 17.12.2015

Vielen Dank für die zügigen Antworten. Ich werds dann mal versuchen. Mit meinem oben genannten Ansatz kam ich im Übrigen auf das Gleiche

k,

keine Ahnung ob es Zufall ist.

Michele95 aktiv_icon

15:43 Uhr, 17.12.2015

Aber wie kommt man auf den Koeffizienten und wie berechne ich am besten

t 1

und

t 2

BeeGee aktiv_icon

15:52 Uhr, 17.12.2015

Das ist dann relativ trivial. Aus der ersten Gleichung erhält man:

63 \cdot e^{- k \cdot t_{1}} = 43

Eingesetzt in die zweite:

16 = - 11 + 43 \cdot e^{- 33 k} | + 11

27 = 43 \cdot e^{- 33 k}

- 33 k = ln (\frac{27}{43})

k = - \frac{1}{33} \cdot ln (\frac{27}{43}) \approx 0,0141 [{min}^{- 1}]

Und

t_{1}

dann aus der ersten Gleichung:

e^{- k \cdot t_{1}} = \frac{43}{63}

- k \cdot t_{1} = ln (\frac{43}{63})

t_{1} = - \frac{1}{k} \cdot ln (\frac{43}{63}) \approx 27,1 [min]

Michele95 aktiv_icon

16:13 Uhr, 17.12.2015

Aber mein Problem ist das ich nicht auf diese Werte komme weil ich nicht verstehe wie du

K

berechnet hast, da

t 1

und

t 2

sind bekannt sind kann ich deren Werte auch nicht einsetzen !

BeeGee aktiv_icon

16:19 Uhr, 17.12.2015

Wir haben doch 3 Unbekannte

(k, t_{1}

und

t_{2})

. Und wir haben 3 Gleichungen. Das riecht verdächtig nach "lösbar" :-).

Oben habe ich es doch Schritt für Schritt hingeschrieben, wie

k

berechnet werden kann. Wo hakt es noch?

Michele95 aktiv_icon

16:23 Uhr, 17.12.2015

Ich komme einfach nicht auf dem selben Wert weil ich nicht verstehe wie du drauf kommst auf den

K

BeeGee aktiv_icon

16:27 Uhr, 17.12.2015

Die drei Gleichungen nochmal:

32 = - 11 + (52 - (- 11)) \cdot e^{- k \cdot t_{1}}

16 = - 11 + (52 - (- 11)) \cdot e^{- k \cdot t_{2}}

t_{2} = t_{1} + 33

Soweit klar?

Michele95 aktiv_icon

16:30 Uhr, 17.12.2015

ja aber da ist ja noch

- K

unbekannt wie geht man vor

BeeGee aktiv_icon

16:37 Uhr, 17.12.2015

Gleichung 1:

32 = - 11 + 63 \cdot e^{- k \cdot t_{1}} | + 11

43 = 63 \cdot e^{- k \cdot t_{1}}

Gleichung 2:

16 = - 11 + 63 \cdot e^{- k \cdot t_{2}}

Statt

t_{2}

schreibe ich jetzt

t_{1} + 33

(aus Gleichung

3) :

16 = - 11 + 63 \cdot e^{- k \cdot (t_{1} + 33)} | + 11

27 = 63 \cdot e^{- k \cdot (t_{1} + 33)}

Potenzregel:

27 = 63 \cdot e^{- k \cdot t_{1}} \cdot e^{- k \cdot 33}

Für

63 \cdot e^{- k \cdot t_{1}}

verwende ich die

43

aus Gleichung 1:

27 = 43 \cdot e^{- k \cdot 33} | : 43

\frac{27}{43} = e^{- k \cdot 33} | ln

ln (\frac{27}{43}) = - k \cdot 33 | : (- 33)

k = - \frac{1}{33} \cdot ln (\frac{27}{43})

OK?

Michele95 aktiv_icon

16:40 Uhr, 17.12.2015

Ich habe beispielsweise andere Werte
To=

49

Tu=-15

T 1 = 32

T 2 = 11

40

Minuten sind gegeben

K

muss

>

als 0 sein

Ich bin nach dein Schema gegangen und habe nicht den richtigen

K

herausbekommen und auch nicht

t 1

und

t 2!

wie würdest du denn diese Aufgabe lösen

BeeGee aktiv_icon

16:41 Uhr, 17.12.2015

Wie wäre es, wenn Du Deine Aufgabe mal im kompletten Wortlaut hier posten würdest? Wenn Du andere Ausgangszahlenwerte hast, kommst Du natürlich auf ein anderes

k

Michele95 aktiv_icon

16:43 Uhr, 17.12.2015

Aufgabe:

Eine Flasche Cola steht in der Sonne und hat zum Zeitpunkt

t 0 = 0

genau die Temperatur

T 0 = 49

°C. Zum Zeitpunkt

t 0 = 0

wird sie in die Gefriertruhe gestellt, die eine Temperatur von Tu=-15 °C hat.

Zum Zeitpunkt

t 1

wird bei der Colaflasche noch die Temperatur

T 1 = 32

°C gemessen.

Zum Zeitpunkt

t 2,

der

40

Minuten nach dem Zeitpunkt

t 1

liegt, wird erneut die Temperatur gemessen; die Colaflasche hat zum Zeitpunkt

t 2

die Temperatur

T 2 = 11

°C.

Der Temperaturverlauf der Colaflasche kann durch die Funktion

b f T (t) = T_{u} + (T_{0} - T_{u}) \cdot e^{- k \cdot t}

mit einem Koeffizietnen

k > 0

beschrieben werden.

(T 0

und Tu sind oben im Text vorgegeben.)

Frage 1:

Wie lange war die Colaflasche bis zur Messung zum Zeitpunkte

t 1

in der Gefriertruhe?

BeeGee aktiv_icon

16:53 Uhr, 17.12.2015

Na, das ist doch fast dasselbe, nur mit anderen Zahlenwerten. Bei dieser Aufgabe lauten die Gleichungen eben:

32 = - 15 + (49 - (- 15)) \cdot e^{- k \cdot t_{1}}

11 = - 15 + (49 - (- 15)) \cdot e^{- k \cdot t_{2}}

t_{2} = t_{1} + 40

Den Rest solltest Du mit der obigen Beschreibung hinkriegen.

k = - \frac{1}{40} \cdot ln (\frac{26}{47}) \approx 0,0148 [{min}^{- 1}]

t_{1} = - \frac{1}{k} \cdot ln (\frac{47}{64}) \approx 20,9 [min]

Michele95 aktiv_icon

16:55 Uhr, 17.12.2015

und wie würde man auf

t 3

kommen ?

BeeGee aktiv_icon

16:56 Uhr, 17.12.2015

In Deiner Aufgabe steht nirgends was von

t_{3}

. Hellsehen kann ich noch nicht :-).

Michele95 aktiv_icon

16:58 Uhr, 17.12.2015

Frage 2:

Wie lange muss die Colaflasche in der Gefriertruhe sein, damit sie auf 0°C abkühlt?

das wäre die 2te frage hier wird

t 3

gesucht

BeeGee aktiv_icon

17:02 Uhr, 17.12.2015

Das sollte ja jetzt einfach sein:

0 = - 15 + 64 \cdot e^{- k \cdot t_{3}}

t_{3} = - \frac{1}{k} \cdot ln (\frac{15}{64}) \approx 98,0 [min]

Michele95 aktiv_icon

17:04 Uhr, 17.12.2015

Vielen Vielen Dank

BeeGee aktiv_icon

17:06 Uhr, 17.12.2015

Schwere Geburt :-)

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