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Stammfunktion bilden - Exponentialfunktion

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: e-Funktion, Integration

Leyla96 aktiv_icon

19:45 Uhr, 12.08.2017

Hallo,

ich schreib bald eine Klausur zur Pharmakokinetik und hab eine Frage.

Also in meinem Skript steht:

\frac{d c}{d t} = - k * c

Daraus ergibt sich durch Integration

c = c_{0} * e^{- k t}

Und ich verstehe nicht wie man auf die 2. Formel kommt. Das soll doch sozusagen die Stammfunktion der 1. Gleichung sein oder? Aber wenn ich die Stammfunktion bilde komme ich auf

c = - k * c * t

Und wenn ich andersrum heran gehe und die e-Funktion ableite komme ich doch auch nicht auf die 1. Gleichung, weil die e-Funktion nicht weg fällt. Deshalb versteh ich nicht wo beim integrieren das e herkommt.

Danke schon mal.
LG Daniela

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

anonymous

20:01 Uhr, 12.08.2017

\frac{d c}{d t} = - k \cdot c

bzw.

c' = - k \cdot c

\frac{c'}{c} = - k

Integration

ln (c) = - k \cdot t + c_{0}

c = e^{- k \cdot t + c_{0}}

bzw.

c = c_{1} \cdot e^{- k \cdot t}

Roman-22

20:07 Uhr, 12.08.2017

Du darfst doch das

c

rechts nicht wie eine Konstante behandeln. Offenbar ist

c

die Funktion die gesucht ist und ausführlich geschrieben lautet die Gleichung ja dann

\frac{d c (t)}{d t} = - k \cdot c (t)

Gesucht ist also eine Funktion

c (t),

deren Änderung proportional (Faktor

k)

zur vorhandenen "Menge" ist. Also ein klassischer Wachstums- oder Zerfallsvorgang, je nachdem ob

k

negativ oder positiv ist. Natürlich kennt man in einem solchen gängigen Fall schon die Ergebnisfunktion (eben die Exponentialfunktion, die du angegeben hast). Darum wird im Skriptum wohl die Herleitung nicht explizit angegeben sondern nur lapidar auf "Integration" verwiesen.

Formal kommt man zwar durch Integration zur Lösung, jedoch darfst du nicht so einfach unbedarft drauflosintegrieren.

Was du da vorliegen hast nennt man eine Differentialgleichung. Es ist zwar eine recht einfache, aber eben doch eine.
Diese DGL lässt sich zB durch "Trennen der Variablen" lösen (wobei man hier schnell mal das

c

auch als (abhängige) Variable bezeichnet).
Erster Schritt ist also zB alles mit

c

nach links und alles mit

t

nach rechts bringen und dass man dabei den Differentialoperator

\frac{d c}{d t}

einfach wie einen Bruch in seine Bestandteile (Differentiale

d c, d t)

zerlegen darf, nehmen wir als gegeben hin und denken nicht weiter drüber nach.
Das führt dann auf

\frac{d c}{c} = - k d t

JETZT darfst du beidseits integrieren - und zwar links über

c

und rechts über

t

\int \frac{1}{c} d c = - \int k d t

Auf einer Seite (Vorschlag: rechts) muss dann auch noch eine Integrationskonstante dazu gegeben werden.

Danach ist das Ergebnis nach

c

aufzulösen (entlogarithmieren).

Aber wie ich gerade sehe hat Goedel, während ich an dieser Antwort geschrieben habe, schnell geantwortet und kommentarlos alles vorgerechnet.

>

nd wenn ich andersrum heran gehe und die e-Funktion ableite komme ich doch auch nicht auf die 1. Gleichung, weil die e-Funktion nicht weg fällt.
An sich ja keine schlechte Idee, zum besseren Verständnis halber das Pferd von hinten aufzuzäumen.
Also

c (t) = c_{0} \cdot e^{- k \cdot t}

\frac{d c (t)}{d t} = - k \cdot c_{0} \cdot e^{k \cdot t}

Jetzt siehst du aber bereits, dass die Ableitungsfunktion

c'

bis auf den Faktor

- k

mit der Funktion

c

übereinstimmt.
Es gilt also

\frac{d c}{d t} = - k \cdot c

und genau das besagt deine Ausgangsgleichung ja. Diese Funktion

c (t)

ist also Lösung dieser Gleichung.
Du könntest die Funktion

c

und ihre Ableitungsfunktion auch in die Ausgangsgleichung einsetzen und kommst dann auf die wahre Aussage

0 = 0

. Ebenso untrügliches Zeichen dafür, dass wior es mit diesem

c (t)

mit einer Lösung(sfunktion) der gegebenen (Differential-)Gleichung zu tun haben.

ledum aktiv_icon

20:13 Uhr, 12.08.2017

Hallo
du schreibst das ungeschickt und bist deshalb verwirrt.

c

ist keine Variable sondern eine Funktion wenn du schreibst

\frac{d c (t)}{d t} = - k \cdot c (t)

steht links die Ableitung einer Funktion, rechts die Funktion selbst. gesucht ist also eine Funktion , deren Ableitung wieder die Funktion gibt, bis auf den Faktor

- k

wenn man also weiss, dass die Ableitung von Ae^(-k*t)=-k*A*

e^{- k \cdot t}

ist hat man die Lösung dieser Differentialgleichung.
wenn du dagegen die Gleichung

\frac{d c}{d t} = - k \cdot t

hast kannst du einfach integrieren und hättest dann c=-k/2*t^2+konst
wenn man die

e

fkl nicht sieht wird so integriert:

d c (t) \frac{)}{d t} = - k \cdot c (t)

d c (t) \frac{)}{c} (t) = - k \cdot d t

lnc(t)=-k*t+konst
c(t)=e^(-k*t)*e^(konst)=A*e^(-k*t)
und

A = c (0)

Gruß ledum

Leyla96 aktiv_icon

20:29 Uhr, 12.08.2017

Super danke euch allen!
Ich musste mir gerade noch die Graphen von

\frac{1}{x}

und

l n (x)

anschauen weil ich noch nicht wusste warum der ln die Stammfunktion von dem Bruch ist, aber jetzt ist es klar. :-D)
Daniela

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