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Wachstumsgesetz Exponentialfunktion?

Schüler

Tags: Exponentialfunktion, Funktion

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ichmagpizza

ichmagpizza aktiv_icon

15:48 Uhr, 25.03.2024

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Die Aufgabe lautet: Eine Tierpopulation hat sich in vier Jahren exponentiell von

180

auf

240

Tiere vergrößert. Ich soll das Wachstumsgesetz angeben und um wie viel % die Population jährlich wächst.

Ehrlicherweise weiß ich nicht, was genau mit Wachstumsgesetz gemeint ist. wäre nett wenn mir das wer sagen könnte.
zu aufgabe 2 bin ich so vorgegangen:

f (x) = 180 + 4^{t} = 240

f (x) = 4^{t} = \frac{4}{3}

{log}_{4} (\frac{4}{3}) = 0,2075

und das macht halt nicht wirklich sinn

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Antwort

pivot

pivot aktiv_icon

16:01 Uhr, 25.03.2024

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Hallo,

allgemein ist die Exponentialfunktion mit a=Anfangsbestand gleich

f (x) = a \cdot b^{x}

Zum Zeitpunkt

t_{0}

ist die Population 180.

t_{0}

ist irgendeine Zahl (in Jahren). Einsetzen:

180 = a \cdot b^{t_{0}} (1)

Nach weiteren 4 Jahren ist die Population auf 240 angewachsen, also

t_{0} + 4

.

240 = a \cdot b^{t_{0} + 4}

240 = a \cdot b^{t_{0}} \cdot b^{4} (2)

Jetzt kannst du (2) durch (1) teilen.

Gruß
pivot

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Roman-22

21:12 Uhr, 25.03.2024

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Und was was Bildungsgesetz anlangt. so musst du ja nur die gegebenen Werte richtig verwenden.
Da wir nicht wissen, ob die Zeitrechnung beim Stand

180

erst beginnt, setzen wir die Population zu Beginn

(t = 0)

eben unbekannterweise auf

N_{0}

.
Damit ergibt sich dann

N (t) = N_{0} \cdot {(\frac{240}{180})}^{\frac{t}{4 J a h r e}} = N (t) = N_{0} \cdot {(\frac{4}{3})}^{\frac{t}{4 J a h r e}}

Da setzt du nun zB

t = 1 J a h r

ein:

N (1 J a h r) = N_{0} \cdot {(\frac{4}{3})}^{\frac{1}{4}} \approx N_{0} \cdot 1,07457

Und daraus wirst du ja den jährlichen prozentuellen Zuwachs ablesen können.

Antwort

KL700

KL700 aktiv_icon

08:02 Uhr, 26.03.2024

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Es gibt 2 Wege:

1.

180 \cdot a^{4} = 240

a^{4} = {(\frac{240}{180})}^{\frac{1}{4}} = 1,07457

(Wachstumsfaktor)

a - 1 = 7,46 %

(Wachsumsrate)

2.

180 \cdot e^{k \cdot 4} = 240

e^{k \cdot 4} = \frac{240}{180} = \frac{4}{3}

k \cdot 4 = \frac{ln (\frac{4}{3})}{4} = 0,071921

(Wachstumskonstante)

e^{k} = 1,07457 (s . ⊙)

Es gilt:

a = e^{k}

bzw.

k = e^{ln a}

Antwort

Mathe45

09:02 Uhr, 26.03.2024

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Vor dem Absenden sorgfältig durchlesen !

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