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4 Dreiecke in einem.

Universität / Fachhochschule

Tags: Dreieck, Fläche, Geometrie, Strahlensatz

schnippi aktiv_icon

12:08 Uhr, 13.09.2010

Hi,
Ich gebe grade Nachhilfe an einen

10

. Klässler. Dieser soll nun einige Aufgaben für die Mathe Olympiade berechnen. Leider bin ich etwas eingerostet wie es scheint, denn folgende Aufgabe krieg ich nicht gelöst:

Gegeben sind ein Dreieck ABC mit dem Flächeninhalt

f

sowie von den Eckpunkten verschiedene Punkte

D

auf AB,

E

auf BC unf

F

auf AC. Letztere bestimmen zusammen mit den Eckpunkten des Dreiecks vier Teildreiecke ADF, DBE, FEC und DEF, deren Flächeninhalte in dieser Reihenfolge mit

v, w, x

bzw.

y

bezeichnet seinen.

Die Punkte

D, E, F

erfüllen weiter die folgenden drei Eigenschaften:

EF

| |

AB (jeweils die Strecken)

v + w = (2 : 5) f =

"zwei fünftel"

f

x : y = v : w

Bestimmen Sie aus diesen Angaben

v, w, x

und

y

in Abhängigkeit von

f

.

Ich hab schon irgendwie probiert mit Strahlensätzen einen Ansatz zu finden, aber so richtig weit komme ich nicht. Wäre super, wenn mit jemand hilft, Danke schonmal

!!

Liebe Grüße !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Strahlensatz und Ähnlichkeit
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Yokozuna aktiv_icon

13:43 Uhr, 13.09.2010

Hallo,

also die Idee mit den Strahlensätzen geht schon mal in die richtige Richtung. Ich habe mal unten ein Bild von der Situation eingefügt.
Da die Strecke FE parallel zur Strecke AB ist, ist das Dreieck FEC ähnlich zum Gesamtdreieck ABC mit der Fläche

f

. Angenommen wir legen FE fest, dann hat das Dreieck FEC eine Fläche

λ \cdot f

mit

0 < λ < 1

. Dann liegt aber auch die Fläche vom Dreieck DEF fest, unabhängig davon, wo der Punkt

D

liegt (ich habe mal mit rot und grün 2 alternative Dreiecke für DEF angedeutet), denn die Grundlinie FE ist fest und die Höhe bleibt auch immer gleich (wegen FE parallel AB). Die Grundlinie FE ist aber proportional zu

λ

und die Höhe ist proportional zu

(1 - λ)

(Strahlensatz). Die Fläche des Dreiecks DEF ist deshalb proportional zu

λ \cdot (1 - λ)

oder

y = λ \cdot (1 - λ) \cdot f

Die Gesamtfläche ist damit:

f = (v + w) + x + y = \frac{2}{5} \cdot f + λ \cdot f + λ \cdot (1 - λ) \cdot f

oder

1 = \frac{2}{5} + λ + λ \cdot (1 - λ)

Diese quadratische Gleichung löst man nun nach

λ

auf (eine Lösung entfällt, da dabei

λ > 1

wäre). Damit haben wir die Flächen für

x

und

y

bestimmt.
Nun muß man noch

v

und

w

bestimmen. Wir kennen ja bereits die Summe

v + w = \frac{2}{5} \cdot f

und als 2. Gleichung haben wir noch

\frac{x}{y} = \frac{v}{w}

bei bekanntem

x

und

y

. Aus diesen beiden Gleichungen kann man dann

v

und

w

berechnen.

Viele Grüße
Yokozuna

schnippi aktiv_icon

11:34 Uhr, 14.09.2010

Wow, vielen Dank ! Das geht ja fix hier im Forum :-)
Ich kann auch alles nachvollziehen, aber ich wär nicht drauf gekommen.. Erst recht nicht in der 9. oder

10

. Klasse..

Naja, wie gesagt, vielen Dank und liebe Grüße !

anonymous

16:03 Uhr, 06.10.2010

Hallo, ich habe eine Frage. Was genau stellt der buchstabe Lamba dar. Die Höhe, oder die Länge von FE?

Yokozuna aktiv_icon

16:28 Uhr, 06.10.2010

Hallo,
das ist der Proportionalitätsfaktor, um den alle Strecken im Dreieck FEC kleiner sind, als die entsprechenden Strecken im Dreieck ABC, also

λ =

FE:AB = FC:AC = EC:BC

= . .

.
Bei der obigen Antwort war mir damals ein Fehler unterlaufen. Die Fläche des Dreiecks FEC ist proprtional zu

λ^{2} \cdot f

(nicht

λ \cdot f)

. Dies muß bei den weiteren Berechnungen in meiner damals angegebenen Lösung berücksichtigt werden.

Viele Grüße
Yokozuna

anonymous

16:32 Uhr, 06.10.2010

Hallo, vielen Dank. Gruß xy

anonymous

16:59 Uhr, 06.10.2010

Sorry, noch eine Frage. Wieso jetzt 2*Lamba*f.

Yokozuna aktiv_icon

17:18 Uhr, 06.10.2010

Hallo,

das ist nicht

2 \cdot λ \cdot f

sondern

λ

zum Quadrat mal

f,

weil sich ja sowohl die Grundlinie EF als auch die Höhe des Dreiecks EFC proportional zu

λ

verändern.

Viele Grüße
Yokozuna

anonymous

17:22 Uhr, 06.10.2010

Ach ja, vielen Dank

leo2014 aktiv_icon

00:28 Uhr, 30.09.2014

Hallo Yokozuna,

die Lösung fan ich sehr interessant. Vielleicht kann diees auch auf mein Problem übertragen werden.

gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC. In diesem Dreieck liegt ein weiteres Dreieck ADE mit

D

auf der Strecke AB und

E

auf der Strecke AC. Und die Strecke DE ist parallel zu BC. Der Rechte Winkel wird demnach von den Strecken AB und BC bzw. AD und DE eingeschlossen.

Von dem kleinen Dreieck ADE ist die Fläche gegeben. Bekannt ist allerdings nur noch die Strecke DC. Wie kann man aus diesen Angaben die Fläche des Dreiecks ABC oder die Länge der Strecke AD bestimmen?

Vielen Dank.
Wäre schön wenn es hier eine Lösung gibt.
Leo

Bummerang

11:27 Uhr, 30.09.2014

Hallo,

ich bin zwar nicht Yokozuna, aber der ist wohl gerade nicht online und auch er könnte hier keine andere Lösung liefern:

Es geht um ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit rechtem Winkel bei B. Der Punkt

D

liegt auf der Strecke

\bar{A B},

der Punkt

E

auf der Strecke

\bar{A C}

und die Strecke

\bar{D E}

ist parallel zur Strecke

\bar{B C}

. Gegeben sind der Flächeninhalt

A_{A D E}

des Dreiecks

Δ A D E

und die Länge

l_{D C}

der Strecke

\bar{D C},

also

l_{D C} = | \bar{D C} |

.

Zeichne auf einem Blatt Papier eine waagerechte Gerade

g (z . B

. in der Mitte des Blattes). Auf dieser Geraden legst Du

(z . B

. in der Nähe der Blattmitte) den Punkt

D

fest. In

D

erstellst Du einen zur Geraden

g

orthogonalen Strahl

s,

der auf dem Blatt "nach oben" zeigt. Im Abstand

l_{D E}

vom Punkt

D

legst Du auf

s

den Punkt

E_{0}

fest. Jetzt berechnest Du (oder Du konstruierst, was nicht so einfach ist) den Wert

\frac{2 \cdot A_{A D E}}{l_{D C}} = : | \bar{A_{0} D} |

. Diesen Wert trägst Du auf

g

von

D

ausgehend "links" von

D

ab. Diesen Punkt nennst Du

A_{0}

. Durch

A_{0}

und

E_{0}

konstruierst Du die Gerade

h_{0}

so, dass die Strecke

\bar{A_{0} E_{0}}

vollständig gezeichnet ist und die Gerade über beide Seiten der Strecke etwas hinausgeht. Das ist die Grundfigur, an der wir beginnen zu arbeiten.

Jetzt kannst Du den Punkt

E

beliebig auf der Strecke

\bar{D E_{0}}

festlegen. der dazugehörige Punkt A liegt auf

g,

und zwar auf der durch den Punkt

A_{0}

erzeugten Teilgeraden, auf der

D

nicht liegt. Zeichne wieder eine Gerade

h

durch A und

E

ein, die über beide Punkte hinausgeht. Auf der Verlängerung von

h

über

E

hinaus liegt der Punkt C. Das Lot von

C

auf

g

schneidet

g

im Punkt B.

Wenn Du jetzt den Punkt

E

variierst, dann siehst Du, dass der Flächeninhalt

A_{A B C}

bei immer weiterer Annäherung des Punktes

E

E_{0}

gegen

A_{A D E}

geht. Bei stetiger Annäherung von

E

E_{0}

nähert sich der Flächeninhalt auch stetig an. Der Flächeninhalt

A_{A D E}

bildet somit einen unteren Grenzwert für den Flächeninhalt von

A_{A B C}

. Andererseits ist der Flächeninhalt

A_{A B C}

um einiges größer als der Wert

A_{A D E},

wenn

E

der Mittelpunkt von

\bar{D E_{0}}

ist.

Somit kann man zeigen, dass der Flächeninhalt von

Δ A B C

nicht eindeutig berechen- oder konstruierbar ist und auch die Länge

| \bar{A D} |

ist nicht eindeutig berechen- oder konstruierbar. Somit kann es für Deine Aufgabe keine eindeutige Lösung geben.

PS: Bitte IMMER für eine neue Aufgabe einen neuen Thread aufmachen! Du kannst ja auf den alten abgeschlossenen Thread verlinken, indem Du einfach die Adresse einträgst. Den Link macht die Forumssoftware dann schon selber. So wie jetzt hier, sieht man von der Übersicht aus, dass der Thread erledigt ist (Haken vor dem Thema), obwohl Du am Ende eine vollkommen neue und noch unbeantwortete Frage eingestellt hast!

leo2014 aktiv_icon

12:33 Uhr, 30.09.2014

Hallo Bummerang,

vielen lieben Dank für die schnelle Antwort.
Bitte entschuldige, wenn ich jetzt in diesem Thread weiterschreibe.

Ich denke ich muss meine Bedingungen etwas weiter konkretisieren. Ich habe dazu mal ein Bild gemacht (als Datei beigefügt).

Ausgangspunkt ist das schwarze Dreieck ABC bzw. die beiden Dreiecke ADC und DCB. Insgesamt ist die Fläche des Dreiecks ABC=1.
Nun soll der Bereich des Dreiecks über die Punkte A und

B

jeweils so weit erweitert werden, dass die Flächen der neuen Dreiecke (links und rechts) aAE bspw.

0,05 (5 %)

und die des Dreiecks bBF bspw.

= 0,1 (10 %)

betragen. Wobei nicht zwangsläufig immer die Bereiche über A und

B

hinaus erweitert werden müssen, sondern ggf. nur über A oder nur über

B

hinaus. Bekannt sind ssomit weiterhin, die Längen der Strecken AD, DB, CD. Unbekannt sind die Längen der Strecken in den Dreiecken aAE und bBF. In diesen beiden Dreiecken sind lediglich die Flächen bekannt.
Die weitere Bedingung ist, dass die Fläche des neuen (roten) Dreiecks abc ebenfalls=1. Daraus folgt, dass die Strecke cD kleiner ist als die Strecke DC.

Ich hoffe dies sind Einschränkungen mit deren Hilfe, die Lage der Punkte a und

b

bestimmbar ist.

Vielen Dank im Voraus.

Bummerang

12:56 Uhr, 30.09.2014

Hallo,

"Ich denke ich muss meine Bedingungen etwas weiter konkretisieren." - Häääh?

"Der Rechte Winkel wird demnach von den Strecken AB und BC bzw. AD und DE eingeschlossen." heisst, der rechte Winkel liegt bei B. In Deiner Zeichnung liegt er bei C. Das ist nicht konkreter, das ist vollkommen anders!

"Und die Strecke DE ist parallel zu BC." sieht in deiner Zeichnung aus, als wäre

\bar{E F}

parallel zu

\bar{A B}

. Auch hier kann von einer Konkretisierung keine Rede sein, sondern eher von einer vollkommen anderen Voraussetzung!

"... und

E

auf der Strecke AC" sieht in deiner Zeichnung eher aus, als ob

E

auf der Strecke

\bar{a c}

liegt, wobei

A \neq a

und

C \neq c

ist. Auch hier hat das nichts mit einer Konkretisierung zu tun!

"Von dem kleinen Dreieck ADE ist die Fläche gegeben.", heisst: aus "dem kleinen Dreieck" sind die "beiden Dreiecke"

Δ a A E

und

Δ b B F

geworden. Auch hier keine Konkretisierung sondern eine vollkommen neue Aufgabe! Und überhaupt spielt jetzt das Dreieck

Δ A D E

überhaupt keine Rolle mehr...

Ohne Scan der Originalaufgabe gehe ich davon aus, dass die Aufgabe hier wieder nicht dem Original entspricht und darin investierte Zeit verlorene Zeit ist. Ich habe bereits genügend Zeit mit Deinem ersten Versuch und dieser Antwort hier vergeudet, mehr Zeit werde ich in diesem Thread nicht mehr verschwenden! Das heisst: Kein Scan der Originalaufgabe mit allen dazugehörigen Angaben und Bildchen oder keine weitere Antwort von mir! Dann aber heisst es für Dich abzuwarten, ob irgendjemand bereit ist, auch ohne gesicherte Aufgabenstellung, eine Antwort zu geben...

leo2014 aktiv_icon

15:03 Uhr, 30.09.2014

Hallo Bummerang,

Es tut mir leid, dass ich Sie jetzt hier verwirrt habe. Ich bitte hier um Entschuldigung. Ich bin Ihnen wirklich sehr dankbar, dass Sie sich hier die Zeit genommen haben.
Zu meiner Verteidigung muss ich aber sagen, dass ich schon von einer Konkretisierung sprechen kann. Mein erster Beitrag, bezog sich (entsprechend der eben beigefügten Grafik) lediglich auf das OriginalDreieck mit den Punkten ADC - also linker Teil des Dreickes ABC. Ich dachte zunächst dies wäre ausreichend um mein Problem zu schildern. Aufgrund Deiner Ausführungen war dem nicht so und wollte ich die Randbedingungen lediglich erweitern/konkretisieren, da offensichtlich eine Vielzahl von Lösungen sonst entstehen und mein Problem nicht gelöst werden kann.

Eine Aufgabenstellung gibt es leider nicht. Es ist lediglich ein Problem mit welchem ich mich derzeit etwas herumschlage und der Meinung bin, dass es hier eine Lösung geben muss.

Es geht um die Modellierung von Risiken, die über eine Dreiecksverteilung dargestellt werden. Hier sind der obere Wert (Punkt

B)

und der untere Wert (Punkt

A)

bekannt. Über die Bedingungen, dass die Fläche im Dreieck den Wert 1 haben muss und der Bedingung, dass der Punkt

C

bei

(X = 0 -

in einem Koordinatensystem) liegen muss, Lässt sich der Punkt

C

bestimmen. Also in Koordinaten ausgedrückt, wird ein Dreieck beschrieben mit den Punkten

A (- A,0); B (B,0); C (0, C)

. Die Fläche des Dreiecks ABC steht für die Eintrittswahrscheinlichkeit und diese muss gleich 1 sein. Nun sind aber die Werte (unterer und oberer Wert) ebenfalls mit Unsicherheiten behaftet, wodurch das Dreieck über die Punkte A (als unterer Wert) und

B

(als oberer Wert) hinaus erweitert wird. Die Fläche bleibt aber gleich

1,

so dass der Punkt

C

auf der y-Achse in den unbekannten Punkt

c

(rot) nach unten verschoben wird.

Das Dreieck ABC (schwarz) und das Dreieck abc (rot) sind nicht rechtwinklig!! Dies täuscht in der Grafik (ich habe der die Abbildung neu erstellt). Sie lassen sich aber in je zwei rechtwinklige Dreiecke teilen (und hiervon hatte ich zuvor nur den linken ROTEN Teil mit den Dreiecken beschrieben).

""Von dem kleinen Dreieck ADE ist die Fläche gegeben.", heisst: aus "dem kleinen Dreieck" sind die "beiden Dreiecke" ΔaAE und ΔbBF geworden. Auch hier keine Konkretisierung sondern eine vollkommen neue Aufgabe! Und überhaupt spielt jetzt das Dreieck ΔADE überhaupt keine Rolle mehr..." Das Dreieck ABC aus dem ersten Beitrag entspricht dem Dreieck aDc (rot). Das Dreieck ADE aus dem ersten Beitrag entspricht dem Dreieck aAE (rot). In meinem ersten Beitrag habe nur das rote linke Dreieck beschrieben!

Also bitte entschuldigen Sie meine ungenaue Beschreibung im ersten Beitrag. Ich würde mich sehr freuen, wenn Sie (oder jemand anderes) eine Lösung zur Bestimmung des roten Dreiecks hat. Vielen Dank

Leo.

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