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Ableitung von komplexen e-Funktionen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, Kettenregel, Produktregel

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Mhoody

Mhoody aktiv_icon

18:12 Uhr, 27.11.2012

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Habe die Aufgabe, eine Kurvendiskussion für diese Funktionen aufzustellen.
Problem liegt schon bei der Ableitung

- . - \cdot

f (x) = 2 x \cdot e^{2 - x}

f' (x) = 2 \cdot e^{2 - x} + 2 x \cdot e^{2 - x}

??
Wie fasse ich zusammen oder ist das überhaupt richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kettenregel
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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vulpi

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19:05 Uhr, 27.11.2012

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Hi !
Du hast einen kleinen Fehler drin.

(e^{2 - x})' = - e^{2 - x} |

Kettenregel !

Ergibt nach Produkregel

f' (x) = 2 \cdot e^{2 - x} - 2 x e^{2 - x}

Zusammenfassen: den e-Hoch -Part ausklammern

f' (x) = e^{2 - x} (2 - 2 x) = 2 \cdot e^{2 - x} (1 - x)

Hinweis:
Wenn du öfter mit der Art von Funktion

f (x) = u (x) \cdot e^{v (x)}

rumhantierst, kannst du dir auch eine Ableitungsregel dazu schnitzen:

f' (x) = (u' + u v') \cdot e^{v}

im konkreten Fall also:

[2 x \cdot e^{- x + 2}]' = (2 + 2 x \cdot (- 1)) \cdot e^{- x + 2} | u = 2 x, v = - x + 2, v' = - 1

gruß

Mhoody

Mhoody aktiv_icon

19:09 Uhr, 27.11.2012

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Danke, das hab ich verstanden.

Jetzt muss ich aber von dieser funktion

e^{2 - x} \cdot (2 - 2 x)

die Nullstellen berechnen, weiß aber nicht, wie ich mit diesen mehreren

x

hantiere...

Antwort

vulpi

vulpi aktiv_icon

19:13 Uhr, 27.11.2012

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0-Stellen bei einem Produkt:
Mindestens einer der Faktoren muß 0 werden, damit das Produkt insgesamt 0 wird !
Der

e^{e g a l} -

Faktor KANN nicht 0 werden, also muß es der andere

(2 - 2 x) = 0 \Leftrightarrow 1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1

Das solltest du dir aber auch mal MERKEN

!!!

lg

Frage beantwortet

Mhoody

Mhoody aktiv_icon

19:17 Uhr, 27.11.2012

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Ich weiß das doch, ich weiß auch nicht, was mit mir passiert ist. Ich bin einser Schülerin

:' (

Nun komme ich gar nicht mehr zurecht.

Mhoody

Mhoody aktiv_icon

19:47 Uhr, 27.11.2012

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Wieso bin ich so verwirrt?

Könntest du mir noch einmal helfen, bitte

...

?

f (x) = 2 x \cdot e^{2 - x}

f' (x) = e^{2 - x} \cdot (2 - 2 x)

f'' (x) =

???

bin glaube ich zu dumm zum logisch denken... :

ich hab so angefangen:

f'' (x) = - e^{2 - x} \cdot (2 - 2 x) + e^{2 - x} \cdot (- 2)

= - e^{2 - x} \cdot (2 - 2 x - 2)

????

PS: würde die ableitung gerne mit der kettenregel bilden!

Antwort

vulpi

vulpi aktiv_icon

20:07 Uhr, 27.11.2012

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Hi, war doch fast richtig, nur das Ausklammern hakt noch :-)

f'' (x) = - e^{2 - x} (2 - 2 x) + e^{2 - x} (- 2) =

e^{2 - x} (2 x - 2) + e^{2 - x} (- 2) =

e^{2 - x} (2 x - 2 - 2) = e^{2 - x} (2 x - 4)

aber zieh doch den Faktor 2 noch vor:

= 2 e^{2 - x} (x - 2)

genauso bei der 1. Ableitung

f' (x) = 2 e^{2 - x} (1 - x)

das macht das weitere Ableiten doch schöner, der konst Faktor bleibt einfach erhalten.

gruß

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