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Abstandsberechnung mit Differentialrechnung

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Abstand, Differantialrechnung, Gerade, Punkt

anonymous

13:57 Uhr, 01.05.2009

Hallo, ich muss den Abstand zwischen dem Punkt

P (- 1; 4; 5)

und der Geraden

g : x = (1; 2; 2) + r (- 1; 3; 2)

mit Hilfe der Differentialrechnung berechnen.
Zuerst habe ich den Vektor PQ bestimmt: PQ=(1-r;2+3r;2+2r)-(-1;4;5)=(1-r+1;2+3r-4;2+2r-5). Danach habe ich den Betrag von diesem Vektor bestimmt:
PQ

= d = \sqrt{{(2 - r)}^{2} + {(- 2 + 3 r)}^{2} + {(- 3 + 2 r)}^{2}} = \sqrt{4 - r^{2} + 4 + 9 r^{2} + 9 + 4 r^{2}} = \sqrt{17 + 12 r^{2}}

Jetzt muss ich mit Hilfe der Differentialrechnung den Extremwert berechnen. Ich habe dann erstmal die Wurzel aufgelöst und die 1. und 2. Ableitung gebildet.

f (r) = 12 r^{2} + 17

f' (r) = 24 r

f'' (r) = 24

Jetzt weiß ich nicht wie ich weiter rechnen muss. Ich habe es auch schon mit der PQ-Formel versucht bzw. die 1. Ableitung

= 0

gesetzt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum

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BjBot aktiv_icon

14:04 Uhr, 01.05.2009

Weisst du wie Q aussieht ?
Q ist nämlich eine Punkteschar, genauer: ein allgemeiner Punkt auf der Geraden, also abhängig von r.

Die Strecke PQ gibt dir dann die allgemeine Entfernung von P und Q an und der Abstand ist ja immer die kleinste Entfernung.
Deswegen musst du die Entfernung dieser 2 Punkte als Funktion d(r) betrachten und minimieren.
Da d(r) ein Wurzelterm sein wird, bietet es sich an lieber d²(x) zu minimieren, da sich die Extremstellen beim Quadrieren der Funktion nicht ändern.

magix aktiv_icon

15:17 Uhr, 01.05.2009

Stopp, ehe ihr alle weiterrechnet. Erst mal die Binomischen Formeln richtig ausrechnen!!!
Da fehlen überall die gemischten Glieder!

anonymous

15:29 Uhr, 01.05.2009

Danke!! An die binomischen Regeln habe ich nicht mehr gedacht. Ich habe das jetzt noch mal neu gerechnet und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:

d = \sqrt{17 - 28 r + 14 r^{2}}

Ich hoffe ich habe jetzt keinen Fehler gemacht.

magix aktiv_icon

15:31 Uhr, 01.05.2009

PQ=d=

\sqrt{17 - 28 r + 14 r^{2}} = f (x) = {(17 - 28 r + 14 r^{2})}^{\frac{1}{2}}

f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(17 - 28 r + 14 r^{2})}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 28 + 28 r) = 0

f' (x) = \frac{28 (- 1 + r)}{2 \cdot {(17 - 28 r + 14 r^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0

f' (x) = 0,

wenn der Zähler, also

28 (- 1 + r) = 0 \Rightarrow r = 1

zusätzlich darf aber 17-28r+14r² nicht null werden, da der Nenner nicht null werden darf.

magix aktiv_icon

15:36 Uhr, 01.05.2009

Ich hab 17-28r+14r² in die Mitternachtsformel eingesetzt. Es gibt keine Lösung, weil unter der Wurzel

784 - 952

steht und es keine negativen Wurzeln gibt.
Damit ist

r = 1

eine gültige Lösung und du kannst weiterrechnen.

anonymous

15:43 Uhr, 01.05.2009

Wieso nimmst du jetzt die Funktion hoch

\frac{1}{2}

magix aktiv_icon

15:49 Uhr, 01.05.2009

Weil eine Wurzel dasteht und die wird in Exponentialschreibweise als hoch

\frac{1}{2}

geschrieben. Die allgemeine Ableitungsregel

f' (x^{n}) = n \cdot x^{n - 1}

lässt sich sonst ja nicht anwenden.

BjBot aktiv_icon

15:50 Uhr, 01.05.2009

Ich hatte doch geschrieben wie es funktioniert.
Dein Term für d(r) nun richtig.
Minimiere also nur noch d² und du hast es schon.
Lass dich von den Beiträgen von magix nicht irritieren, ich persönlich kann sie auch kaum lesen muss ich gestehen.

magix aktiv_icon

15:54 Uhr, 01.05.2009

Sorry, manchmal mag der Editor eben nicht so wie man sich das vorstellt. Dennoch ist das, was ich geschrieben habe, sachlich richtig. Und im Gegensatz zu dir, lieber Kollege, habe ich gesehen, dass die Binomische Formel nicht richtig ausmultipliziert wurde. Juli sollte also meine Beiträge vielleicht doch nicht ignorieren.

magix aktiv_icon

15:58 Uhr, 01.05.2009

Die zweite Ableitung brauchst du übrigens nicht, um festzustellen, dass es sich wirklich um ein Minimum handelt. Da vor r² ein positiver Faktor steht, handelt es sich um eine Parabel bei der der Scheitelpunkt das Minimum darstellt, stände ein negativer Faktor davor, wäre es dagegen immer ein Maximum.

BjBot aktiv_icon

16:13 Uhr, 01.05.2009

Ich habe das mit der bin. Formel auch gesehen, nur sah ihr Beitrag ganz am Anfang ganz anders aus und erst irgendwann später hat sie dann ihren Rechenweg in den ersten Beitrag noch eingefügt und als ich das gesehen habe wurde bereits geantwortet, also habe ich halt erstmal auf eine Antwort gewartet.

Sachlich richtig, keine Ahnung, es fehlten immer noch Klammern bei den Exponenten, man muss sich halt vieles irgendwie denken und als Leser schaltest du spätestens nach der 3. Zeile schon ab weil es einfach Gift für die Augen ist.

Und andereseits verstehe ich auch nicht warum du nun auf einmal eine kompliziertere Variante vorrechnest, zumal Vorrechnen ja hier auch gar nicht verlangt war...

anonymous

16:18 Uhr, 01.05.2009

Also muss ich die Funktion

d (r) = \sqrt{14 r^{2} - 28 r + 17}

hoch 2 nehmen um die Wurzel weg zu bekommen. Sieht das dann so aus?

d^{2} (r) = 14 r^{2} - 28 r + 17

BjBot aktiv_icon

16:32 Uhr, 01.05.2009

Ja genau

magix aktiv_icon

16:40 Uhr, 01.05.2009

@BjBot:
Dann bitte ich vielmals um Vergebung, dass ich mich überhaupt eingemischt habe. Ich versteh zwar nicht, was an meinen Rechnungen nun noch "Gift für die Augen ist", aber wenn's dich glücklich macht, dann ziehe ich mich gerne zurück.

BjBot aktiv_icon

16:44 Uhr, 01.05.2009

Lol...das jetzt zu schreiben nachdem du alles auf einmal verändert hast...Glückwunsch

anonymous

16:58 Uhr, 01.05.2009

Hey magix, ich habe mir noch mal deinen Lösungsweg angeguckt. Und das mit der Ableitung kam mir im ersten Moment fremd vor. Jetzt kann ich mich aber wieder daran erinnern, dass wir das in der Schule genauso gemacht haben. Nur eine Frage: Wie kommst du auf die dritte Zeile:

f' (x) = \frac{28 (- 1 + r)}{2 (17 - 28 r + 14 r 2) \frac{1}{2}} = 0

?
Vielen Dank an euch beiden, dass ihr mir weiter helft!!

Astor aktiv_icon

17:12 Uhr, 01.05.2009

Hallo,
deine Berechnung des Abstandes ist ja nun korrekt.

d (r) = \sqrt{17 - 28 r + 14 r^{2}}

Nun ist der Abstand d(r) minimal, wenn der Term unter der Wurzel minimal ist.
Deshalb genügt es

17 - 28 r + 14 r^{2}

abzuleiten und dann Null zu setzen.
Somit ist der Abstand für r=1 minimal.
Gruß Astor

magix aktiv_icon

20:06 Uhr, 01.05.2009

Hallo Juli,

von meiner Zeile 2 zu meiner Zeile 3 kommst du, indem du den Exponenten hoch

- \frac{1}{2}

aufspaltest in hoch

(- 1)

und hoch

\frac{1}{2}

. Der negative Exponent ist eine andere Schreibweise für einen Bruch, wie du dich vielleicht erinnerst. Und ich habe ihn eben in einen Bruch umgewandelt und nur den Exponenten hoch

\frac{1}{2}

stehen gelassen. Diesen könnte ich auch noch in eine Wurzel zurückverwandeln.

Im Übrigen hat BjBot, wenn man es genau nimmt, nicht ganz und gar Recht mit seiner Behauptung, dass die quadrierte Funktion dieselben Extremstellen hat wie die ursprüngliche Funktion. Es stimmt zwar im Prinzip schon, aber eben mit der Einschränkung, dass es sein kann, dass bei der 1. Ableitung der ursprünglichen Funktion Werte ausgeschlossen werden müssen, weil sonst der Nenner unzulässigerweise null werden würde. Dann erhält man zwar eine Lösung, indem man den Zähler gleich null setzt, aber diese ist dann nicht zulässig.

Ich hoffe, ich habe dich jetzt nicht mehr verwirrt, als dass ich dir geholfen habe. Frag einfach nach, wenn dir noch was unklar ist.

Lg Magix

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