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Aufgaben zu Funktionenscharen
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis, Anwendungsaufgabe, Funktionenschar, Graph einer Funktion
 
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Hallo, kann mir jemand bei folgenden Aufgaben helfen? ich find keinen Ansatz geschweige denn Lösung. 1. Für reellwertige Zahlen a und ist Bestimmen Sie a und so, dass an der Stelle 1 einen Sattelpunkt hat. Für welche Parameter a und hat der Graph von keinen Wendepunkt? 2. Gegeben ist die Funktion mit (1) . Geben Sie alle funktionen an, deren Graph aus dem Graphen von durch die folgende Abbildung hervor geht. Verschiebung parallel zur y-Achse Verschiebung parallel zur x-Achse Verschiebung parallel zr Geraden zu Steckung (Streckung??? Schreibfehler...) parallel zur y-Achse Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff) Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Symmetrie |
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Hallo, du hast ja angegeben, dass du die Lösung in Zusammenarbeit mit andern erstellen willst, daher geb ich dir mal ein paar Denkanstöße für die vielleicht reicht das ja schon: Was gilt für einen Sattelpunkt bei der... ...ersten Ableitung? ...zweiten Ableitung? Damit hast du zwei Bedingungen, wenn du dafür jeweils die beiden Gleichungen aufstellst, kannst du a und bestimmen. Wann liegt ein Wendepunkt vor? Wie kann man ausschließn, dass dieser Fall eintritt? |
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hallo, Danke für die Impulse, also habe ich nun geschafft, erste und zweite ableitung müssen 0 sein bei Sattelpunkt, demnach habe ich und heraus als ergebnis, ich hoffe das stimmt, ich kann von mir nämlich nicht behaupten oft ein erfolgserlebnis in Mathe zu haben Bei komme ich nicht wirklich weiter, also welche bedingungen müssen für keinen Wendepunkt vorliegen. Würde ja bedeuten: f''(x)ungleich und da es bei einer waagerechten Tangente ja wieder ein Sattelpunkt wäre oder liege ich mit falsch?. Da häng ich jetzt fest und weiß nicht weiter. Edit: Also ich hab jetzt gerechnet und heraus:Für a ist Element aller reellen Zahlen außer 0 und gibt es keine Wendepunkte Ist das richtig? |
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Hallo,
ist richtig gelöst! Super! Zur Bedingung für einen Wendepunkt ist ja Also 12x² Man sieht schonmal, dass der Parameter überhaupt keine Rolle spielt, er ist also frei wählbar. Damit eine Funktion keinen Wendepunkt hat, darf obige Gleichung also für kein einziges erfüllt sein, umgeformt ergibt sich: 12x² 12x² Damit man für keine Lösung der Gleichung erhält, muss die rechte Seite negativ sein, damit man nicht daraus die Wurzel ziehen kann. a muss also positiv sein. Also: Wenn a positiv ist, lässt sich kein finden, dass obige Gleichung erfüllt, es liegt dann also kein Wendepunkt vor. darf man beliebig wählen. Hast Du das so verstanden, wie ich es erklärt habe oder gibt es Fragen? |
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Hallo, danke! Ich habs verstanden. Das hat mir echt geholfen. Ich hatte schon den Ansatz darf nicht erfüllt werden, habe mich aber noch zu sehr an der vorherigen Aufgabe orientiert. Am Ende ist es doch immer einfacher als gedacht Bei Aufgabe 2 weiß ich wirklich überhaupt nicht wie ich anfangen soll, da würde ich doch lieber um einen vollständigen Lösungsweg bitten. |
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Gut, dann hier also die komplette Lösung zur mal schauen, ob Du die dann selber hinbekommst:
Verschiebung parallel zur y-Achse: Damit eine Funktion parallel zur y-Achse verschoben wird, muss zu jedem Wert der gewünschte Summand dazuaddiert bzw. abgezogen werden. . Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts: Dem x-Wert 3 der neuen Funktion muss derselbe Funktionswert zugewiesen werden wie dem x-Wert 1 der alten Funktion, dem x-Wert 4 der neuen Funktion derselbe Funktionswert wie dem x-Wert 2 der alten Funktion. Es gilt also: f_neu(x) = f_alt(x-2) oder allgemein f_neu(x) = f_alt(x-c) wenn um Einheiten verschoben wird. Dabei ist positiv, wenn nach rechts verschoben werden soll, und negativ, wenn nach links verschoben werden soll. Diese Verschiebung muss auf jedes angewandt werden, dass in der Ursprungsgleichung ist, also wird einfach durch ersetzt In Fall f_neu(x) = (x-c)² Verschiebung parallel zur x-Achse: Hier muss zu jedem Funktionswert der alten Funktion die gewünschte Konstante dazuaddiert werden. Jeder einzelne Funktionswert ist dadurch . um 3 größer, die komplette Funktion wird also um 3 angehoben. Allgemin gilt also: f_neu(x) = f_alt(x) In Fall f_neu(x) = x²+d Verschiebung parallel zur Geraden Wenn du die Funktion zeichnest, siehst du, dass es die Winkelhalbierende durch den 1. und 4. Quadranten ist. Möchtest Du nun eine Funktion parallel zu dieser Geraden verschieben, ist das dasselbe, als wenn du die Funktion nach rechts und nach oben (bzw. nach links und nach unten) verschiebst. Es ist also eine Kombination aus ) und wobei darauf zu achten ist, dass die Konstante, um die die Funktion ´nach rechts und nach oben verschoben wird, jeweils gleich ist. Es gilt also: f_neu(x) = f_alt(x-c) Wichtig ist, dass das dasselbe ist, da ansonstennicht parallel zu verschoben wird. In Fall f_neu(x) = (x-c)² eine Streckung parallel zur y-Achse Dies bedeutet, dass jeder Funktionswert mit einem bestimmten Faktor multipliziert wird. Dabei ist wichtig, dass der komplette Funktionswert jeweils gestreckt wird. Es gilt also: f_neu(x) = e*f_alt(x) In Fall f_neu(x) = e*x² Sind meine Erklärungen klar? Kannst Du das jetzt für die selber anwenden? |
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Kann vielleicht jemand nochmal die Aufgabe mit kompletten Lösungsweg erläutern?
Vielen Dank schon mal! Liebe Grüße |
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Aufgabe 1. Für reellwertige Zahlen a und ist f(x)=x4+ax2+bx
Bestimmen Sie a und so, dass an der Stelle 1 einen Sattelpunkt hat. Damit an der Stelle 1 einen Sattelpunkt hat, muss sowohl die erste als auch die zweiteb Ableitung gleich 0 sein an dieser Stelle. Also: x^4+ax²+bx f'(x)=4x³+2ax+b f''(x)=12x²+2a Nehmen wir zuerst die zweite Bedingung Daraus folgt direkt, dass Nun noch die erste Bedingung benutzen, dass a einsetzen: Also lautet die gesuchte Funktion: f(x)=x^4-6x²+8x Alles klar oder gibt's Fragen dazu, cdinfo? |
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Alles perfekt! Jetzt habe ich es auch verstanden. Vielen vielen Dank! |
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Hallo du, der diese Aufgabe hier gestellt hat Solch eine Aufgabe könnte auch in meiner Arbeit gegebenenfalls vorkommen. Nur ich bin auch nicht wirklich gut in Mathe und erstmal Respekt, dass du mit der Hilfe auf die Lösung gekommen bist. Wie hast du das denn rausbekommen ? :-D) |
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oh, da stehts :-D) |
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