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Ausklammern mit Variablen als Exponenten

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Ausklammern, Exponentialaufgabe, faktorisieren

anonymous

20:20 Uhr, 08.07.2009

Hallo liebe Community,

ich bin gerade in der Vorbereitung für mein Informatik Studium und da mein letzter Schultag schon 5 Jahre zurück liegt, gibt es doch einige Lücken zu schliessen!

Ich hoffe ihr könnt mir bei folgender Gleichung helfen:

\frac{{(2 x - 2 y)}^{m} \cdot {(3 x + 3 y)}^{n}}{{(4 x^{2} - 4 y^{2})}^{m + n}}

danke im Voraus,

mfg,

der Flo

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Faktorisieren (Linearfaktorzerlegung)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Nullstellen bestimmen
Rechnen mit Klammern

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

20:52 Uhr, 08.07.2009

Betracheten wir nur mal den Nenner:

(4 x^{2} - 4 y^{2})^{m + n}

(4 x^{2} - 4 y^{2})^{m} \cdot (4 x^{2} - 4 y^{2})^{n}

((4 x - 4 y) (4 x + 4 y))^{m} \cdot ((4 x - 4 y) (4 x + 4 y))^{n}

(4 x - 4 y)^{m} (4 x + 4 y)^{m} \cdot (4 x - 4 y)^{n} (4 x + 4 y)^{n}

4^{m} (x - y)^{m} (x + y)^{m} \cdot 4^{n} (x - y)^{n} (x + y)^{n}

Zerlege mal den Zähler auch so und schau was sich kürzen lässt.

anonymous

22:26 Uhr, 08.07.2009

Hallo nochmal,

super, danke für den Ansatz. Kann es aber sein, dass du dich da vertan hast??

Du hast geschrieben:

{(4 x^{2} - 4 y^{2})}^{m} \to {(4 x - 4 y)}^{m} \cdot {(4 x + 4 y)}^{m},

es müsste aber doch:

{(4 x^{2} - 4 y^{2})}^{m} \to {(2 x - 2 y)}^{m} \cdot {(2 x + 2 y)}^{m}

heissen, oder??

Hab jetzt mal weiter gerechnet, komme allerdings nicht auf das richtige Ergebnis,
meine Rechenschritte wie folgt:

\frac{{(2 x - 2 y)}^{m} \cdot {(3 x + 3 y)}^{m}}{{(4 x^{2} - 4 y^{2})}^{m} \cdot {(4 x^{2} - 4 y^{2})}^{n}} = \frac{2^{m} \cdot {(x - y)}^{m} \cdot 3^{m} {(x + y)}^{m}}{2^{m} \cdot {(x - y)}^{m} \cdot {(x + y)}^{m} \cdot 2^{n} \cdot {(x - y)}^{n} \cdot {(x + y)}^{n}}

Dann hab ich fleissig gekürzt, und übrig bleibt:

\frac{3^{n}}{{(x + y)}^{m} \cdot 2^{n} \cdot {(x - y)}^{n}}

.

Jetz komm ich aber nicht mehr weiter.
Das Ergebnis ist laut Lösungsbuch

\frac{3^{n}}{2^{2 n + m} \cdot {(x - y)}^{n} \cdot {(x + y)}^{m}}

Kann mir jemand sagen, wie man da drauf kommt??

mfg, der Flo

pleindespoir aktiv_icon

22:35 Uhr, 08.07.2009

Sehr gut erkannt!
Den Fehler habe ich natürlich mit Absicht gemacht um zu checken ob du auch wirklich aufmerksam bist *kicher*

(4 x^{2} - 4 y^{2})^{m} \cdot (4 x^{2} - 4 y^{2})^{n}

(2 x - 2 y)^{m} (2 x + 2 y)^{m} \cdot (2 x - 2 y)^{n} (2 x + 2 y)^{n}

ist richtig.

pleindespoir aktiv_icon

22:45 Uhr, 08.07.2009

\frac{(2 x - 2 y)^{m} \cdot (3 x + 3 y)^{n}}{(2 x - 2 y)^{m} (2 x + 2 y)^{m} \cdot (2 x - 2 y)^{n} (2 x + 2 y)^{n}}

jeweils die linken klammern im zähler und Nenner kürzen sich:

\frac{(3 x + 3 y)^{n}}{(2 x + 2 y)^{m} \cdot (2 x - 2 y)^{n} (2 x + 2 y)^{n}}

feste Faktoren ausklammern:

\frac{3^{n} \cdot (x + y)^{n}}{(2 x + 2 y)^{m} \cdot (2 x - 2 y)^{n} \cdot 2^{n} \cdot (x + y)^{n}}

die Klammern rechts kürzen sich weg:

\frac{3^{n}}{(2 x + 2 y)^{m} \cdot (2 x - 2 y)^{n} \cdot 2^{n}}

... hmmmmm ...

soweit warst Du auch schon, gell ...

adrilleros aktiv_icon

22:50 Uhr, 08.07.2009

Hallo,

ich würde den Zähler so umformen:

{(4 \cdot x^{2} - 4 \cdot y^{2})}^{m + n} = {(4 \cdot (x^{2} - y^{2}))}^{m + n} = 4^{m + n} \cdot {(x^{2} - y^{2})}^{m + n}

= {(2^{2})}^{m + n} \cdot {(x^{2} - y^{2})}^{m + n} = 2^{(2 \cdot (m + n))} \cdot {(x^{2} - y^{2})}^{m + n}

= 2^{2 m + 2 n} \cdot {(x^{2} - y^{2})}^{m + n}

Und den Rest im Zähler wie Du es gemacht hast. Dann entsprechend kürzen.

LG

adi

pleindespoir aktiv_icon

22:52 Uhr, 08.07.2009

\frac{3^{n}}{(2 x + 2 y)^{m} \cdot (2 x - 2 y)^{n} \cdot 2^{n}}

natürlich geht das noch weiter :
feste Faktoren wieder vorklammern:

\frac{3^{n}}{2^{m} (x + y)^{m} \cdot 2^{n} (x - y)^{n} \cdot 2^{n}}

\frac{3^{n}}{2^{m} \cdot 2^{n} \cdot 2^{n} (x + y)^{m} (x - y)^{n}}

Exponenten des produktes gleicher Basen kann man summieren:

\frac{3^{n}}{2^{(m + 2 n)} \cdot (x + y)^{m} (x - y)^{n}}

das war's!

anonymous

11:07 Uhr, 09.07.2009

Herzlichen Dank,

es ist doch immer wieder das gleiche, da fehlt einem ein kleines Fizzelchen, auf das man nicht mehr kommt und kaum is es da, kommt wieder der große

"Ach, warum bin ich da nicht selbst drauf gekommen" - Moment...

Danke für eure Hilfe

mfg,

der Flo

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