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Berührungspunkt Kugel, Ebene berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: eben, Kugel, Punkt, Vektorgeometrie

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11:18 Uhr, 03.04.2024

Hallo zusammen

Ich soll in der angehängten Aufgabe den Berührungspunkt der Kugel mit der XY-Ebene bestimmen. Leider gelingt es mir nicht die Falllinie zu bestimmen.

Kann mir jemand erklären wie ich das angehen soll?

Zudem ist mir nicht ganz klar wie ich mit Vektorgeometrie die Geschwindigkeit in Teilaufgabe

b

bestimmen soll.
Für einen Ansatz wäre ich sehr dankbar.

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

HAL9000

11:25 Uhr, 03.04.2024

Allein mit Vektorgeometrie kannst du b) auch nicht lösen, da braucht es ein bisschen Physik:

Es kommt der Energieerhaltungssatz zum Tragen:

Differenz der potentiellen Energie zwischen Start- und Endpunkt = Kinetische Energie (Translation + Rotation) im Endpunkt

Die Potentialdifferenz

Δ E_{p o t} = m g h

ergibt sich leicht aus der zurückgelegten Höhendifferenz

h

. Für die kinetische Energie haben wir

\frac{m}{2} v^{2} + \frac{I}{2} ω^{2}

mit Massenträgheitsmoment

I

der Vollkugel. Da gilt

I = \frac{2}{5} m r^{2}

, so dass das via

ω = \frac{v}{r}

einfach

E_{k i n} = \frac{7}{10} m v^{2}

ergibt, mit Translationsgeschwindigkeit

v

der Kugel.

> Leider gelingt es mir nicht die Falllinie zu bestimmen.

Nach oben zeigender Normalenvektor der Ebene:

\vec{n} = {(- 2, - 1, 2)}^{T}

Berührpunkt der Kugel beim Start:

P = {(50, 40, 70)}^{T}

Mittelpunkt der Kugel am Start:

M_{0} = P + r \cdot \frac{\vec{n}}{∥ \vec{n} ∥} = (46, 38, 74)^{T}

Schwerkraftvektor:

\vec{s} = {(0, 0, - 1)}^{T}

Rollrichtung:

\vec{u} = (\vec{n} \times \vec{s}) \times \vec{n} = {(1, - 2, 0)}^{T} \times {(- 2, - 1, 2)}^{T} = {(- 4, - 2, - 5)}^{T}

D.h. der Mittelpunkt der Kugel beschreibt die Bahn

M_{t} = M_{0} + t \vec{u}

mit Geradenparameter

t

(welcher nicht die Zeit ist!). Der Endpunkt ist erreicht, wenn die

z

-Koordinate von

M_{t}

den Wert

r = 6

aufweist, denn dann berührt der tiefste Punkt der Kugel gerade die

x y

-Ebene. Offenkundig ist dann die dabei zurückgelegte Höhendifferenz

h = 74 - 6 = 68

cm.

Da führt dann (s.o.) zu Endgeschwindigkeit

v = \sqrt{\frac{10}{7} g h} = \sqrt{\frac{10}{7} \cdot 9.81 m s^{- 2} \cdot 0.68 m} = 3.087 m s^{- 1}

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16:48 Uhr, 03.04.2024

Hallo Hal9000

Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort. Du hast mir sehr geholfen.

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