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Beweis der Bijektivität und Umkehrfunktion bilden

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Abbildung, Bijektivität, Injektivität, mengen, Sonstig, surjektivität, Umkehrfunktion, Umkehrfunktion bilden

Mai05 aktiv_icon

14:31 Uhr, 25.11.2020

Bei der Aufgabe auf dem Bild komme ich überhaupt nicht klar.

Ich weiß im allgemeinen, wie man Injektivität und Surjektivität nachweist, aber ich kann das nicht auf das Beispiel anwenden...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Umkehrfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

JaBaa aktiv_icon

15:22 Uhr, 25.11.2020

Hallo,

fangen wir doch mal mit der Injektivität an.

Eine Funktion ist Injektiv, wenn für eine Funktion

f : X \to Y

gilt:

aus

f (x) = f (y) \Rightarrow x = y

.

Da wir ja zusammenarbeiten wollen ;-) . Kannst du mir ja mal aufschreiben, was dies konkret für deine Aufgabe bedeutet ?

Viele Grüße

Mai05 aktiv_icon

16:10 Uhr, 25.11.2020

Also als ich es versucht habe, hatte ich das:

f (x 1) = f (x 2)

(x 1 \cdot y 1, x \frac{1}{y 1}) = (x 2 \cdot y 2, x \frac{2}{y 2})

(x 1, y 1) = (x 2, y 2)

Aber bei erneutem Nachdenken fand ich das als Beweis irgendwie nicht ganz richtig. Das Problem ist, dass ich gar nicht weiß, welche Angaben aus der Aufgabenstellung überhaupt relevant sind für die Injektivität und wenn es alle sind, dann glaube ich, dass ich die Informationen im Zusammenhang nicht verstehe, weil wir bis jetzt noch nie die Bijektivität nachgewiesen haben für

(x, y) \to . .

JaBaa aktiv_icon

17:44 Uhr, 25.11.2020

Hallo,

naja du bist auch nicht fertig mit dem Beweis. Aber der Anfang ist gut. Du musst ja auch noch zeigen, dass

x_{1} = x_{2}

ist und

y_{1} = y_{2}

. Also du musst noch zeigen:

Wenn

(x_{1} \cdot y_{1}, (\frac{x_{1}}{y_{1}})) = (x_{2} \cdot y_{2}, (\frac{x_{2}}{y_{2}})) \Rightarrow x_{1} = x_{2}, y_{1} = y_{2}

.

Das hast du zwar hingeschrieben aber nicht bewiesen. Die Vorraussetzungen musst du beim nächsten Beweisschritt einsetzen.

Mai05 aktiv_icon

17:49 Uhr, 25.11.2020

Meinst du so?

Falls nicht, weiß ich nicht, was du mit "zwar hingeschrieben, aber nicht bewiesen" meinst... :-)

JaBaa aktiv_icon

17:59 Uhr, 25.11.2020

Okay,

also der Beweis wird so weiter fortgeführt:

(x_{1} \cdot y_{1}, (\frac{x_{1}}{y_{1}})) = (x_{2} \cdot y_{2}, (\frac{x_{2}}{y_{2}})) \Rightarrow x_{1} \cdot y_{1} = x_{2} \cdot y_{2}

und

\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}}

. Weißt du jetzt wie du weiter machen musst ?

JaBaa aktiv_icon

18:02 Uhr, 25.11.2020

Surjektivität schaffst du auch, ich muss jetzt weg ;-) .

Viele Grüße

Mai05 aktiv_icon

18:52 Uhr, 25.11.2020

Ich habs versucht und bin zu folgendem Ergebnis gekommen (allerdings glaube ich, dass das wieder falsch ist, weil ich die Abbildung von

(x, y) \to . .

. kaum eingesetzt habe, aber ich verstehe echt nicht, was ich damit beim Beweisen anfangen soll... )

michaL aktiv_icon

20:10 Uhr, 25.11.2020

Hallo,

es wäre nett(!), wenn du deine Bilder so hochladen könntest, dass man nicht den Hals verdrehen muss.

Zur Lösung des Problems:

Du hast sozusagen zwei Gleichungen:

x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}

(I) und

\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}}

(II)

Kannst du Gleichung (I) irgendwie so mit Gleichung (II) "verarbeiten", dass z.b.

x_{1} = x_{2}

herauskommt? (Geht vielleicht nicht in nur einem Schritt!)

Mfg Michael

HAL9000

20:40 Uhr, 25.11.2020

Eigentlich kann man die Sache erheblich abkürzen: Wenn man einfach eine Funktion

g : N \times N \to N \times N

direkt angibt, für welche man sowohl

g (f (x, y)) = (x, y)

für alle

x, y \in N

nachweisen kann (das sichert nebenbei die Injektivität von

f

) und dann auch noch

f (g (x, y)) = (x, y)

(das sichert die Surjektivität von

f

), dann hat man die gewünschten Beweise und zudem auch gleich noch die Umkehrfunktion, nämlich

f^{- 1} = g

.

Und diese Funktion ist hier offenbar

g (x, y) = (\sqrt{x y}, \sqrt{\frac{x}{y}})

, die Probe sollte nicht schwer sein.

P.S.: Das ganze basiert auf dem, was hier

www.onlinemathe.de/forum/Links-Rechtsinverse

gerade diskutiert wird.

JaBaa aktiv_icon

23:14 Uhr, 25.11.2020

Hi,

es gab ja zum Glück noch mehr Hilfe. Wenn du so weiter machen willst wie Michael, kannst du es genauso machen wie in der Schule mit Gleichungen umstellen (Variablen eleminieren) und am Ende bekommst du die Gleichheiten

x_{1} = x_{2}

und

y_{1} = y_{2}

.

Eleganter ist es natürlich was Hal9000 macht, aber ich denke es ist besser anfangs mit den Definitionen zu arbeiten, wenn man noch keine Erfahrung hat.

Viele Grüße

Mai05 aktiv_icon

09:29 Uhr, 26.11.2020

Also wenn ich die Gleichungen

x 1 \cdot y 1 = x 2 \cdot y 2

und

\frac{x 1}{y 1} = \frac{x 2}{y 2}

umstelle und einsetze, bekomme ich immer nur

x 1 = x 1

raus, aber nie

x 1 = x 2,

weil sich immer ein

x

wegkürzt...

michaL aktiv_icon

09:51 Uhr, 26.11.2020

Hallo,

ich würde (I) mit (II) multiplizieren.
Du weißt nicht, wie man GLeichungen mit Gleichungen multipliziert?

Nun ganz einfach:

a = b

und

c = d

, dann

a c = b d

Du multiplizierst (I) mit

\frac{x_{1}}{y_{1}}

. Da aber

\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}}

gilt, multiplizierst du die linke Seite mit der linken von (II), die rechte Seite mit der rechten von (II).

Mfg Michael

Mai05 aktiv_icon

09:57 Uhr, 26.11.2020

Ahh, danke, davon habe ich tatsächlich noch nichtsgehört, wir haben immer nur umgestellt und eingesetzt.

Leider verstehe ich die Herangehensweise von @HAL9000 nicht, gibt es auch einen anderen Weg, die Surjektivität zu beweisen?

Und kann ich auch über den (hoffentlich vorhandenen) anderen Weg die Umkehrfunktion bestimmen?

michaL aktiv_icon

11:47 Uhr, 26.11.2020

Hallo,

HAL9000 hat ja einen Link mitgeschickt.
Dort wird gerade bewiesen, dass die Existenz von Links- bzw. Rechtsinverser garantiert, dass die Funktion in- bzw. surjektiv ist.

Wenn ihr so ein Ergebnis schon hattet (hattet ihr?), dann kan man sich die Sache erheblich vereinfachen, indem man die sowohl Links- als auch Rechtsinverse angibt (die ist nicht schwierig, wohl zu schwierig für dich, wenn HAL9000 sie nicht schon angegeben hätte).

Zeigt man, dass diese Funktion sowohl links- als auch rechtsinvers ist, so hätte man damit gleich gezeigt, dass die gesuchte Funktion sowohl in- als auch surjektiv (also bijektiv) ist.

Trotz der Tatsache, dass es wohl intelligentere Lösungen gibt, solltest du dir überlegen, erst einmal den Standard zu machen.
Zunächst einmal ist Standard eben Standard (d.h. den lernt man und baut dann darauf auf) und außerdem ist es auch schwieriger (im Sinne von komplexer, tiefsinniger, etc.), sodass das ja auch erst einmal geleistet werden will.

Mfg Michael

Mai05 aktiv_icon

15:20 Uhr, 26.11.2020

Das Problem ist, dass in dem Beitrag der verlinkt ist von Links- und Rechtsinverser gesprochen wird, damit kann ich aber nichts anfangen, weil wir die Begriffe noch nicht behandelt haben...

Und dadurch verstehe ich auch nicht ganz, wie ich denn überhaupt auf die Funktion

g (x)

komme.

michaL aktiv_icon

16:25 Uhr, 26.11.2020

Hallo,

> Das Problem ist, dass in dem Beitrag der verlinkt ist von Links- und Rechtsinverser gesprochen wird, damit kann ich aber nichts
> anfangen, weil wir die Begriffe noch nicht behandelt haben...

Klingt danach, als solltest du diesen Weg besser nicht beschreiten.

> Und dadurch verstehe ich auch nicht ganz, wie ich denn überhaupt auf die Funktion g(x) komme.

Tja, und nun?

Mfg Michael

Mai05 aktiv_icon

16:33 Uhr, 26.11.2020

Jetzt hoffe ich, dass mir jemand einen anderen Anfang geben kann um die Surjektivität zu beweisen, oder geht das NUR auf diesem Weg?

Mai05 aktiv_icon

18:15 Uhr, 26.11.2020

Wie beweise ich das jetzt weiter?

JaBaa aktiv_icon

21:28 Uhr, 26.11.2020

Hi,

also bei surjektivität musst du, folgendes machen:

Da du überprüfen willst ob alle Elemente des Wertebereichs getroffen werden, wählst du dir zwei beliebige reelle Zahlen

m_{1}

und

m_{2}

mit

m_{1}, m_{2} > 0

.

Diese setzt du da dann ein in :

(x \cdot y, \frac{x}{y}) = (m_{1}, m_{2})

.

Wenn sich diese Gleichung nach

x

und

y

lösen läßt ist die Abbildung surjektiv.

Mai05 aktiv_icon

22:25 Uhr, 26.11.2020

Ich habe die Gleichung jetzt in zwei geteilt. (ich hoffe das kann man da machen)

1.

x \cdot y = m 1

\frac{x}{y} = m 2

Wenn ich das jetzt wie vorher mache mit

a = b

und

c = d \to a \cdot c = b \cdot d

komme ich nur auf

x^{2} = m 1 \cdot m 2

Also kann ich den Weg ja nicht wählen, aber wenn ich eine Gleichung

z

. B. nach

y

umstellen und in die andere einsetze, komme ich auf

\frac{1}{m 1} = m 2

Wie muss ich denn sonst umstellen, wenn ich die Gleichung lösen will?

JaBaa aktiv_icon

23:06 Uhr, 26.11.2020

Also für

x

hast du schon den richtigen Wert heraus, nur die Wurzel musst du noch ziehen.

Dann hast du

x = \sqrt{m_{1} \cdot m_{2}}

Dann setzt du in deine erste Gleichung für

x

deine Lösung ein, damit bekommst du dann:

\sqrt{m_{1}, m_{2}} \cdot y = m_{1}

Ich verstehe nicht wieduauf deine zweite lösung kommst denn wenn du anfangs schon nach

y

umstellen willst kommt bei mir:

1^{'}

y = \frac{m_{1}}{x}

diese setze ich nun in 2. ein also:

\frac{x}{\frac{m_{1}}{x}} = m_{2} \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{m_{1}} = m_{2} \Leftrightarrow x = \sqrt{m_{1} \cdot m_{2}}

. Dies würde dch ja auch nicht weiter bringen da wirschon wissen wie man

x

nur mit

m_{1}

und

m_{2}

darstellen kann. Also zielführender wärees nach

x

aufzulösen um

y

zu bekommen.

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