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Beweis der Bijektivität und Umkehrfunktion bilden

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Abbildung, Bijektivität, Injektivität, mengen, Sonstig, surjektivität, Umkehrfunktion, Umkehrfunktion bilden

 
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Mai05

Mai05 aktiv_icon

14:31 Uhr, 25.11.2020

Antworten
Bei der Aufgabe auf dem Bild komme ich überhaupt nicht klar.

Ich weiß im allgemeinen, wie man Injektivität und Surjektivität nachweist, aber ich kann das nicht auf das Beispiel anwenden...



Screenshot (63)_LI

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
JaBaa

JaBaa aktiv_icon

15:22 Uhr, 25.11.2020

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Hallo,

fangen wir doch mal mit der Injektivität an.

Eine Funktion ist Injektiv, wenn für eine Funktion f:XY gilt:

aus f(x)=f(y)x=y.

Da wir ja zusammenarbeiten wollen ;-) . Kannst du mir ja mal aufschreiben, was dies konkret für deine Aufgabe bedeutet ?

Viele Grüße
Mai05

Mai05 aktiv_icon

16:10 Uhr, 25.11.2020

Antworten
Also als ich es versucht habe, hatte ich das:

f(x1)=f(x2)
(x1y1,x1y1)=(x2y2,x2y2)
(x1,y1)=(x2,y2)

Aber bei erneutem Nachdenken fand ich das als Beweis irgendwie nicht ganz richtig. Das Problem ist, dass ich gar nicht weiß, welche Angaben aus der Aufgabenstellung überhaupt relevant sind für die Injektivität und wenn es alle sind, dann glaube ich, dass ich die Informationen im Zusammenhang nicht verstehe, weil wir bis jetzt noch nie die Bijektivität nachgewiesen haben für (x,y)...
Antwort
JaBaa

JaBaa aktiv_icon

17:44 Uhr, 25.11.2020

Antworten
Hallo,

naja du bist auch nicht fertig mit dem Beweis. Aber der Anfang ist gut. Du musst ja auch noch zeigen, dass x1=x2 ist und y1=y2. Also du musst noch zeigen:

Wenn (x1y1,(x1y1))=(x2y2,(x2y2))x1=x2,y1=y2.

Das hast du zwar hingeschrieben aber nicht bewiesen. Die Vorraussetzungen musst du beim nächsten Beweisschritt einsetzen.




Mai05

Mai05 aktiv_icon

17:49 Uhr, 25.11.2020

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Meinst du so?

Falls nicht, weiß ich nicht, was du mit "zwar hingeschrieben, aber nicht bewiesen" meinst... :-)

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JaBaa

JaBaa aktiv_icon

17:59 Uhr, 25.11.2020

Antworten
Okay,

also der Beweis wird so weiter fortgeführt:

(x1y1,(x1y1))=(x2y2,(x2y2))x1y1=x2y2 und x1y1=x2y2. Weißt du jetzt wie du weiter machen musst ?

Antwort
JaBaa

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18:02 Uhr, 25.11.2020

Antworten
Surjektivität schaffst du auch, ich muss jetzt weg ;-) .

Viele Grüße
Mai05

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18:52 Uhr, 25.11.2020

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Ich habs versucht und bin zu folgendem Ergebnis gekommen (allerdings glaube ich, dass das wieder falsch ist, weil ich die Abbildung von (x,y)... kaum eingesetzt habe, aber ich verstehe echt nicht, was ich damit beim Beweisen anfangen soll... )

WhatsApp Image 2020-11-25 at 18.49.44
WhatsApp Image 2020-11-25 at 18.49.59
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michaL

michaL aktiv_icon

20:10 Uhr, 25.11.2020

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Hallo,

es wäre nett(!), wenn du deine Bilder so hochladen könntest, dass man nicht den Hals verdrehen muss.

Zur Lösung des Problems:

Du hast sozusagen zwei Gleichungen:

x1y1=x2y2 (I) und
x1y1=x2y2 (II)

Kannst du Gleichung (I) irgendwie so mit Gleichung (II) "verarbeiten", dass z.b. x1=x2 herauskommt? (Geht vielleicht nicht in nur einem Schritt!)

Mfg Michael
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

20:40 Uhr, 25.11.2020

Antworten
Eigentlich kann man die Sache erheblich abkürzen: Wenn man einfach eine Funktion g:N×NN×N direkt angibt, für welche man sowohl g(f(x,y))=(x,y) für alle x,yN nachweisen kann (das sichert nebenbei die Injektivität von f) und dann auch noch f(g(x,y))=(x,y) (das sichert die Surjektivität von f), dann hat man die gewünschten Beweise und zudem auch gleich noch die Umkehrfunktion, nämlich f-1=g.

Und diese Funktion ist hier offenbar g(x,y)=(xy,xy), die Probe sollte nicht schwer sein.


P.S.: Das ganze basiert auf dem, was hier

www.onlinemathe.de/forum/Links-Rechtsinverse

gerade diskutiert wird.
Antwort
JaBaa

JaBaa aktiv_icon

23:14 Uhr, 25.11.2020

Antworten
Hi,

es gab ja zum Glück noch mehr Hilfe. Wenn du so weiter machen willst wie Michael, kannst du es genauso machen wie in der Schule mit Gleichungen umstellen (Variablen eleminieren) und am Ende bekommst du die Gleichheiten x1=x2 und y1=y2.

Eleganter ist es natürlich was Hal9000 macht, aber ich denke es ist besser anfangs mit den Definitionen zu arbeiten, wenn man noch keine Erfahrung hat.

Viele Grüße
Mai05

Mai05 aktiv_icon

09:29 Uhr, 26.11.2020

Antworten
Also wenn ich die Gleichungen
x1y1=x2y2 und x1y1=x2y2 umstelle und einsetze, bekomme ich immer nur x1=x1 raus, aber nie x1=x2, weil sich immer ein x wegkürzt...
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

09:51 Uhr, 26.11.2020

Antworten
Hallo,

ich würde (I) mit (II) multiplizieren.
Du weißt nicht, wie man GLeichungen mit Gleichungen multipliziert?

Nun ganz einfach:
a=b und c=d, dann ac=bd

Du multiplizierst (I) mit x1y1. Da aber x1y1=x2y2 gilt, multiplizierst du die linke Seite mit der linken von (II), die rechte Seite mit der rechten von (II).

Mfg Michael
Mai05

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09:57 Uhr, 26.11.2020

Antworten
Ahh, danke, davon habe ich tatsächlich noch nichtsgehört, wir haben immer nur umgestellt und eingesetzt.

Leider verstehe ich die Herangehensweise von @HAL9000 nicht, gibt es auch einen anderen Weg, die Surjektivität zu beweisen?

Und kann ich auch über den (hoffentlich vorhandenen) anderen Weg die Umkehrfunktion bestimmen?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

11:47 Uhr, 26.11.2020

Antworten
Hallo,

HAL9000 hat ja einen Link mitgeschickt.
Dort wird gerade bewiesen, dass die Existenz von Links- bzw. Rechtsinverser garantiert, dass die Funktion in- bzw. surjektiv ist.

Wenn ihr so ein Ergebnis schon hattet (hattet ihr?), dann kan man sich die Sache erheblich vereinfachen, indem man die sowohl Links- als auch Rechtsinverse angibt (die ist nicht schwierig, wohl zu schwierig für dich, wenn HAL9000 sie nicht schon angegeben hätte).

Zeigt man, dass diese Funktion sowohl links- als auch rechtsinvers ist, so hätte man damit gleich gezeigt, dass die gesuchte Funktion sowohl in- als auch surjektiv (also bijektiv) ist.

Trotz der Tatsache, dass es wohl intelligentere Lösungen gibt, solltest du dir überlegen, erst einmal den Standard zu machen.
Zunächst einmal ist Standard eben Standard (d.h. den lernt man und baut dann darauf auf) und außerdem ist es auch schwieriger (im Sinne von komplexer, tiefsinniger, etc.), sodass das ja auch erst einmal geleistet werden will.

Mfg Michael
Mai05

Mai05 aktiv_icon

15:20 Uhr, 26.11.2020

Antworten
Das Problem ist, dass in dem Beitrag der verlinkt ist von Links- und Rechtsinverser gesprochen wird, damit kann ich aber nichts anfangen, weil wir die Begriffe noch nicht behandelt haben...


Und dadurch verstehe ich auch nicht ganz, wie ich denn überhaupt auf die Funktion g(x) komme.
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

16:25 Uhr, 26.11.2020

Antworten
Hallo,

> Das Problem ist, dass in dem Beitrag der verlinkt ist von Links- und Rechtsinverser gesprochen wird, damit kann ich aber nichts
> anfangen, weil wir die Begriffe noch nicht behandelt haben...

Klingt danach, als solltest du diesen Weg besser nicht beschreiten.

> Und dadurch verstehe ich auch nicht ganz, wie ich denn überhaupt auf die Funktion g(x) komme.

Tja, und nun?

Mfg Michael
Mai05

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16:33 Uhr, 26.11.2020

Antworten
Jetzt hoffe ich, dass mir jemand einen anderen Anfang geben kann um die Surjektivität zu beweisen, oder geht das NUR auf diesem Weg?
Mai05

Mai05 aktiv_icon

18:15 Uhr, 26.11.2020

Antworten
Wie beweise ich das jetzt weiter?

WhatsApp Image 2020-11-26 at 18.14.56
Antwort
JaBaa

JaBaa aktiv_icon

21:28 Uhr, 26.11.2020

Antworten
Hi,

also bei surjektivität musst du, folgendes machen:

Da du überprüfen willst ob alle Elemente des Wertebereichs getroffen werden, wählst du dir zwei beliebige reelle Zahlen m1 und m2 mit m1,m2>0.

Diese setzt du da dann ein in :

(xy,xy)=(m1,m2).

Wenn sich diese Gleichung nach x und y lösen läßt ist die Abbildung surjektiv.
Mai05

Mai05 aktiv_icon

22:25 Uhr, 26.11.2020

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Ich habe die Gleichung jetzt in zwei geteilt. (ich hoffe das kann man da machen)

1. xy=m1
2. xy=m2

Wenn ich das jetzt wie vorher mache mit a=b und c=dac=bd komme ich nur auf x2=m1m2
Also kann ich den Weg ja nicht wählen, aber wenn ich eine Gleichung z. B. nach y umstellen und in die andere einsetze, komme ich auf 1m1=m2

Wie muss ich denn sonst umstellen, wenn ich die Gleichung lösen will?
Antwort
JaBaa

JaBaa aktiv_icon

23:06 Uhr, 26.11.2020

Antworten
Also für x hast du schon den richtigen Wert heraus, nur die Wurzel musst du noch ziehen.

Dann hast du x=m1m2

Dann setzt du in deine erste Gleichung für x deine Lösung ein, damit bekommst du dann:

m1,m2y=m1

Ich verstehe nicht wieduauf deine zweite lösung kommst denn wenn du anfangs schon nach y umstellen willst kommt bei mir:

1'. y=m1x diese setze ich nun in 2. ein also:

xm1x=m2x2m1=m2x=m1m2. Dies würde dch ja auch nicht weiter bringen da wirschon wissen wie man x nur mit m1 und m2 darstellen kann. Also zielführender wärees nach x aufzulösen um y zu bekommen.



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