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Beziehung zwischen b und c

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Hochpunkt, kein Extrema, Sattelpunkt, Tiefpunkt

sara-92 aktiv_icon

17:06 Uhr, 05.05.2010

Frage: Welche Beziehung muss zwischen

b

und

c

bestehen, damit die ganzrationale Funktion 3. Grades

f (x) = x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d (b, c, d \in ℝ)

a)

genau einen Hoch- und Tiefpunkt besitzt,

b)

genau einen Sattelpunkt besitzt,

c)

weder einen Hoch-und Tiefpunkt noch einen Sattelpunkt besitzt?

zu

a)

zuerst muss man doch die erste Ableitung 0 setzen, oder?
also:

f' (x) = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot x^{2} + 2 \cdot b \cdot x + c = 0 | : 3

x^{2} + \frac{2 \cdot b \cdot x}{3} + \frac{c}{3} = 0

|pq

x_{1,2} = - \frac{2 \cdot b}{6} \pm \sqrt{\frac{4 \cdot b^{2}}{36} - \frac{c}{3}}

x_{1,2} = - (\frac{b}{3}) \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{9} - \frac{3 \cdot c}{9}}

x_{1} = - (\frac{b}{3}) + \sqrt{\frac{b^{2} - 3 \cdot c}{9}}

x_{2} = - (\frac{b}{3}) - \sqrt{\frac{b^{2} - 3 \cdot c}{9}}

weiter komme ich nicht... kann man hier teilweise die Wurzel ziehen?
stimmt das überhaupt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ramanujan aktiv_icon

19:18 Uhr, 05.05.2010

Da hast du was falsch gemacht. Das

x

fällt doch bei der

p . q

Formel weg. Es heißt:

x_{1; 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}

sara-92 aktiv_icon

20:10 Uhr, 05.05.2010

Ohja, stimmt!
Wie muss ich nun weitermachen?

michael777 aktiv_icon

20:37 Uhr, 05.05.2010

für den Sattel- und Wendepunkt brauchst noch die zweite Ableitung

sara-92 aktiv_icon

20:39 Uhr, 05.05.2010

f'' (x) = 6 \cdot x + 2 \cdot b

und dann?

michael777 aktiv_icon

20:43 Uhr, 05.05.2010

damit es zwei unterschiedliche Extrempunkte gibt muss der Ausdruck unter der Wurzel größer als null sein, also

b^{2} - 3 c \neq 0

bzw.

b \neq \pm \sqrt{3 c}

Sattelpunkt:

f' (x) = 0

und

f'' (x) = 0

f'' (x) = 0 \Rightarrow 6 x + 2 b = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{3} b

f' (- \frac{1}{3} b) = 0

3 \cdot {(- \frac{1}{3} b)}^{2} + 2 b (- \frac{1}{3} b) + c = 0

- \frac{1}{3} b^{2} + c = 0

c = \frac{1}{3} b^{2}

weder Extrempunkte, noch Sattelpunkt:

f' (x) \neq 0

und

f'' (x) \neq 0

keine waagrechte Tangente (entweder Extrempunkt oder Sattelpunkt), wenn Ausdruck unter der Wurzel negativ

\frac{b^{2} - 3 c}{9} < 0

b^{2} < 3 c

sara-92 aktiv_icon

21:01 Uhr, 05.05.2010

a)

also

b \neq 0

und

c \neq 0,

oder?

b) c

muss

\frac{1}{3} \cdot b^{2}

sein, was muss dann

b

sein?

c

in die erste Ableitung einsetzen,
um

b

zu ermitteln?

c) b < 0

und

c < 0

stimmt das?

sara-92 aktiv_icon

11:28 Uhr, 11.05.2010

okay, dankeschön!

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