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Charakteristisches Polynom faktorisieren

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Determinanten

Tags: Charakteristisches Polynom, Determinant, Eigenwert, Eigenwerte berechnen, faktorisieren, Linearfaktor, Linearfaktorzerlegung

shixxchu aktiv_icon

12:48 Uhr, 15.04.2020

Hallo,

ich habe große Probleme, das charakteristische Polynom bei der Eigenwertberechnung in Linearfaktoren zu zerlegen (damit man die Eigenwerte ganz einfach ablesen kann). Gibt es da Tipps und Tricks, wie dies einfacher geht? Oder bleibt mir nichts anderes übrig, als eine Polynomdivision durchzuführen und anhand dessen die Nullstellen zu berechnen, um anschließend das Polynom in Linearfaktoren umzuschreiben?
Hier ist ein Beispiel, bei dem ich mit Ausklammern alleine nicht weit komme (es wird immer unübersichtlicher):

Gegeben sei die Matrix

A = (\begin{matrix} 0 & 2 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ 2 & - 1 & 3 \end{matrix})

p (Λ) = det (A - Λ) = det (\begin{matrix} - Λ & 2 & - 1 \\ 2 & - 1 - Λ & 1 \\ 2 & - 1 & 3 - Λ \end{matrix})

= (3 - Λ) \cdot Λ \cdot (- 1 - Λ) + 6 - [- 2 \cdot (- 1 - Λ) + Λ + 4 \cdot (3 - Λ)]

= (3 - Λ) \cdot [- Λ \cdot (- 1 - Λ) - 4] + 6 + 2 \cdot (- 1 - Λ) - Λ

Ich habe daraufhin versucht das

(- 1 - Λ)

auszuklammern, aber irgendwie sah das ganz komisch aus..Die Musterlösung dazu wäre:

det (A - Λ) = - {(Λ - 2)}^{2} \cdot (Λ + 2)

Vielen Dank schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Faktorisieren (Linearfaktorzerlegung)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

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