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Definitionslücken und Extrema einer Kurvenschar
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Definitionslücken, Extremwert, Kurvenschar, Parameter
 
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Hallo, ich hab ein Problem mit der folgenden Aufgabe: Gegeben ist die Kurvenschar mit . für welche Werte von hat keine/eine/zwei Definitionslücke(n)? Welche Funktionen fk haben kein/ein lokales Extremum/zwei lokale Extrema (auf die hinreichende Bedingung kann verzichtet werden) zu hab ich mir gedacht, dass die Funktion nicht definiert ist, wenn unter dem Bruch als Ergebnis 0 steht, wobei ich mir nicht sicher bin, wie ich dass dann berechnen, soll, damit 3 verschiedene Fälle auftreten, also ein/kein Ergebnis oder zwei Ergebnisse. zu bei lokalen Extrema muss ja die erste Ableitung sein, wie kann ich jetzt unterscheiden, dass ein/zwei bzw. kein Ergebnis dabei herauskommt? Wäre für jede Hilfe dankbar :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff) Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff) Extrema (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo twirlerin da mir jedesmal irgendwer reinschreibt, wenn ich am Antworten bin, mache ich zunächst nur einige Bemerkungen zu Deine Überlegung ist vollkommen richtig! Wenn der Nenner 0 ist, besteht eine Definitionslücke. Man muss also herausfinden, wo der Nenner den Wert 0 annimmt, also folgende Gleichung lösen: Dazu gibt es die Mitternachtsformel: Der Ausdruck unter der Wurzel wird als Diskriminante bezeichnet. Nun weisst du: aus einer negativen Zahl gibt es keine reelle Wurzel. Wenn also ist, gibt es keine reelle Wurzel, das heisst, die aufzulösende Gleichung hat als Lösungsmenge die leere Menge. Für gibt es somit keine Definitionslücke. Damit es genau eine Definitionslücke gibt, muss die Auflösung nach eindeutig sein, die Diskriminante muss 0 sein, also Wenn aber die Diskriminante positiv ist, dann gibt es zwei Nullstellen. Das ist der Fall, wenn ist. Als kleines Beispiel hierzu: Dann ist und und das sind die beiden Definitionslücken. Gruss Paul |
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Hallo twirlerin ich hätte auch gleich mitgeben können, denn die ist ja supereinfach, wenn gelöst worden ist. Die erste Ableitung selber ist ist ja auch ein Bruch, und auch hier gilt: wenn der Nenner den Wert 0 annimmt, dann gibt es kein Extremum (Weil die 1. Ableitung hier nicht definiert ist). Nach meiner Überlegung, die du sicher nachvollziehen kannst, sind das die gleichen Stellen wie bei Aufgabe (Definitionslücken bei der ersten Ableitung) Für die Stellen, wo die erste Ableitung definiert ist, kannst du einfach den Zähler 0 setzen und nach auflösen. Auch hier hast du eine quadratische Gleichung zu lösen, und die Diskriminante-Überlegungen können hier genau gleich gemacht werden. Alles klar? Gruss Paul |
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Hallo Paul, danke für die schnellen Antworten. Nachvollziehen konnte ich alles, wobei ich jetzt gerade am überlegen bin, ob es auch bei einem aus Definitionsbereich sein kann, dass es kein Extremum gibt, sonst habe ich das alles verstanden, gruß twirlerin |
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Hallo twirlerin ja, das kann es! zeige doch bitte mal, wie deine erste Ableitung aussieht, dann können wir das mal durchrechnen. Gruss Paul |
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Für die erste Ableitung hab ich: f´(x)= und dann muss ja der Zähler gleich 0 sein, also oder? |
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Hallo twirlerin ja, ganz genau. Wenn aber dabei eine Lösung herauskommt, die eine Definitionslücke ist, dann darf diese Lösung nicht genommen werden! Der Nenner darf ja keinesfalls 0 werden. Man hat also zu lösen: mit der Lösung/ den Lösungen Das ist eigentlich auch die Mitternachtsformel ;-) Nun also: wenn ist, gibt es kein Extremum. Für kann es ein einziges Extremum geben, sofern hier keine Definitionslücke besteht. Es wäre hier also und der Nenner und das ist womit das wegfällt. Bei gibt es zwei Extrema, aber auch nur an jenen Stellen, wo keine Definitionslücke herrscht! Kannst du das einmal nachprüfen und mir deine Lösung kundtun? Gruss Paul |
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Hallo Paul, so ich hab das mal versucht für und f´(x)= dann ist ja f´(x)= 0 für und das heißt da ist ein jeweils ein Extremum, da bei oder keine Definitionslücke ist, da sie für alle reellen Zahlen definiert ist. ich hoffe das stimmt jetzt ungefähr... gruß, twirlerin |
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Es gibt übrigens noch einen allgemeineren Trick, mit dem man herausfinden kann, ob ein Kandidat für eine Extremstelle (also ein mit zufällig auch eine Definitionslücke ist (also ein mit Wenn und dann insbesondere Also sind stets dann, wenn die Extremstellen bei liegen sollen, diese auch tatsächlich im Definitionsbereich, es ist also für alles in Ordnung |
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Hallo, leider hatte ich ein paar kleine Computerprobleme, und konnte noch nicht wieder reagieren, vielen Dank für Eure Antworten! Viele Grüße, twirlerin |
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