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Differentialgleichung herleiten

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentialgleichung, Herleitung, Kettenlinie

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20:26 Uhr, 02.11.2009

Mein Problem beschäftigt sich für´s erste nur mit dem Finden der Herleitung für folgendes Problem:

Ein Hase $H$ läuft mit konstanter Geschwindigkeit $v_{H}$ auf der y-Achse. Ein Jagdhund $J$ läuft ihm mit konstanter Geschwindigkeit $v_{J}$ nach, und zwar immer direkt auf ihn zu.

Der Jagthund befindet sich an beliebiger stelle im 1. Quadranten.

Stelle nun die entsprechende Differentialgleichung auf...

Hinweis der gegeben ist:
Zur Bestimmung der Richtung, in die der Hund läuft, muss man die Position des Hasen kennen. Dazu beachte, dass der vom Hasen zurückgelegte Weg zu dem vom Hund zurückgelegten Weg proportional ist. Letzterer läßt sich wie in der Herleitung der Differentialgleichung der Kettenlinie berechnen.

Leider kann ich mit dem Verweis auf das Kettenlinienproblem in meinem Hefter nicht wirklich was anfangen.

Mein Gedanke war jetzt die Formel für die Position des Hasen und des Hundes zum Zeitpunkt t zu bestimmen und diese miteinander zu kompinieren in irgend ein erlogischen weise...

leider hörts da nun auf... würd mich über ne Gedankenstütze freun...

Thx

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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pleindespoir aktiv_icon

00:25 Uhr, 03.11.2009

Mach mal ne Zeichnung und poste Deine Überlegungen

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11:50 Uhr, 03.11.2009

Meine einzige Idee ist halt die Position des Hasen:

$y = y_{0} + v_{H} * t$

Ich weiß allerdings nich wie ich die Formel für den Hund ansetzte, bzw. wie diese dann in zusammenhang stehen.

N´Bild mach ich jetzt noch:

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

pleindespoir aktiv_icon

13:18 Uhr, 03.11.2009

In Deiner Zeichnung müsste der Punkt D eigentlich auf der Geraden CA liegen.
Ich nenn mal zur Vermeidung von Verwechslungen zwischen Hund und Hase in den Indices zukünftigden Hund "u" und den Hasen "a".

Die Steigung (bzw Richtung) der Hundegeschwindigkeit ist die Gerade auf den Punkten

(0 ∣ y_{a} (t))

und

(x_{u} (t) ∣ y_{u} (t))

also gilt, wie du schon feststelltest,

y_{a} (t + δ t) = y_{a} (t) + v_{a} \cdot δ t

x_{a} (t + δ t) = x_{a} (t)

x_{a} (t) = 0

und für den Hund ist die Steigung

φ_{(t)} = a r c t a n \frac{y_{u} (t) - y_{a} (t)}{x_{u} (t) - x_{a} (t)}

y_{u} (t + δ t) = y_{u} (t) + s i n φ_{(t)} \cdot v_{u} \cdot δ t

x_{u} (t + δ t) = x_{u} (t) + c o s φ_{(t)} \cdot v_{u} \cdot δ t

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16:50 Uhr, 03.11.2009

Das Differential wäre ja der "Anstieg" des vektors von dem Jagdhund?

Setz ich da jetzt in einer deiner glechungen den Term vor v_u einfach gleih y'?

pleindespoir aktiv_icon

20:33 Uhr, 03.11.2009

y_{u} (t + δ t) = y_{u} (t) + s i n φ_{(t)} \cdot v_{u} \cdot δ t

x_{u} (t + δ t) = x_{u} (t) + c o s φ_{(t)} \cdot v_{u} \cdot δ t

y_{u} (t + δ t) - y_{u} (t) = s i n φ_{(t)} \cdot v_{u} \cdot δ t

x_{u} (t + δ t) - x_{u} (t) = c o s φ_{(t)} \cdot v_{u} \cdot δ t

δ y_{u} = s i n φ_{(t)} \cdot v_{u} \cdot δ t

δ x_{u} = c o s φ_{(t)} \cdot v_{u} \cdot δ t

\frac{δ y_{u}}{δ x_{u}} = \frac{s i n φ_{(t)} \cdot v_{u} \cdot δ t}{c o s φ_{(t)} \cdot v_{u} \cdot δ t}

\frac{δ y_{u}}{δ x_{u}} = \frac{s i n φ_{(t)}}{c o s φ_{(t)}}

\frac{δ y_{u}}{δ x_{u}} = t a n φ_{(t)}

\frac{δ y_{u}}{δ x_{u}} = \frac{y_{u} (t) - y_{a} (t)}{x_{u} (t) - x_{a} (t)}

das hätte man freilich auch weniger umständlich gleich erkennen können ...

x_{a} (t) = 0

\frac{δ y_{u}}{δ x_{u}} = \frac{y_{u} (t) - y_{a} (t)}{x_{u} (t) - 0}

\frac{δ y_{u}}{δ x_{u}} = \frac{y_{u} (t) - y_{a} (t)}{x_{u} (t)}

\frac{1}{y_{u} (t) - y_{a} (t)} δ y_{u} = \frac{1}{x_{u} (t)} δ x_{u}

y_{a} (t) = y_{a 0} + v_{a} \cdot t

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22:52 Uhr, 03.11.2009

Alles klar. So weit denk ich läuft das jetzt. THX

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