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Doppelintegral: eFunktion über Fläche integrieren

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Dreieck, Funktion, Integration

nike0022 aktiv_icon

17:24 Uhr, 17.05.2023

Hallo zusammen!

Ich sitze an einer Aufgabe und komme einfach nicht weiter!
Photomath hilft nicht weiter, ChatGPT ebenso wenig. Probieren wir’s also klassisch über ein Forum. :-)
Die Aufgabe lautet:
“Integrieren Sie die Funktion

e^{x + y}

über der Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten (0,−1),(1,0) und

(0,1)

. Fertigen Sie eine Skizze des Integrationsbereiches an.”

Habe ich gemacht. So meine ich zumindest, allerdings weicht das Ergebnis von der Lösung ab und ich weiß nicht, was ich noch probieren soll. Hatte als Grenzen bei

y

auch schon x+1,−x+1 ausprobiert - also entsprechend der Geraden des Dreiecks, damit kam ich aber auch nicht auf das Ergebnis der Musterlösung.
Hänge meinen Rechenweg mal als Bild an. Vielleicht kann ja jemand Abhilfe schaffen…

Vielen Dank! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

HAL9000

18:24 Uhr, 17.05.2023

ChatGPT hat sein Stärken im Labern zu einem Thema, also z.B. "Erläutere, was Mittelwert und Standardabweichung einer Stichprobe beschreiben." oder sowas.

Sobald es auch nur etwas komplizierter wird, ist es für Rechnungen wie die hier (noch) nicht zu gebrauchen - dafür ist es ehrlich gesagt auch nicht konzipiert.

Zum Thema: Du suchst

\int_{0}^{1} \int_{x - 1}^{1 - x} e^{x + y} d y d x

Roman-22

18:27 Uhr, 17.05.2023

So wie du das ansetzt, also immer

x

von 0 bis 1 und

y

von

- 1

bis 1 laufen zu lassen, integrierst du doch über das entsprechende Rechteck und nicht über das angegeben Dreieck.

Wenn du also außen das

y

von

- 1

bis 1 laufen lassen möchtest, dann musst du dir klar darüber werden, dass die obere Grenze für das

x

von

y

abhängig ist. Noch dazu ist diese Grenze unterschiedlich, je nach dem

y

positiv oder negativ ist, was bedeutet, dass du bei diesem Ansatz in zwei Teilintegrale aufspalten musst

\int_{- 1}^{0} \int_{0}^{1 + y} e^{x + y} d x d y + \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - y} e^{x + y} d x d y = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{e} + e)

Zweckmäßiger ist es daher, die Reihenfolge zu vertauschen, also "außen" das

x

von 0 bis 1 laufen zu lassen, die Grenzen für

y

sind dann abhängig von

x

(Geradengleichung)

\pm (1 - x) :

\int_{0}^{1} \int_{x - 1}^{1 - x} e^{x + y} d y d x = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{e} + e)

nike0022 aktiv_icon

18:35 Uhr, 17.05.2023

Bei Bauphysik Rechnungen hat mir Chat GPT tatsächlich schon geholfen^^

Danke dir! Dann hatte ich die untere Grenze bei

y

also falsch…vielleicht sollte ich mir nochmal ansehen wie man Geradengleichungen auf stellt… ;-)

nike0022 aktiv_icon

18:42 Uhr, 17.05.2023

Ah lieben Dank dir noch für die Erklärung der Grenzen. Klingt logisch!

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