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Dreiecksberechnung im Koordinatensystem

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Dreieck, Fläche, Koordinaten, Winkelfunktion

Rufio aktiv_icon

19:24 Uhr, 08.10.2008

Hallo!!

Ich kenn mich bei folgender Übung überhaupts nichtmehr aus (habe alles wieder vergessen)

Geg.:

A = (2,2), B = (7,4), C = (9, - 4)

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit hilfe der Winkelfunktionen
Die Lösung ist

22 \pm 0,01

Wenn man das dreieck zeichnet kommt man drauf dass die eckpunkte

B

und

C

vertauscht sind, wenn man ein "gewöhnliches" dreieck anschaut. naja, vielleicht kann mir jemand beim lösungsansatz helfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Enrico aktiv_icon

23:53 Uhr, 08.10.2008

Hallo Rufio,

hierfür gibt es mehrere Methoden!

Kennst du den Kosinussatz?

Ansonsten kann man die Winkelfunktionen sehr geschickt aus dem Weg gehen, in dem man die Fläche des Dreiecks berechnet als Differenz von Fläche eines Vierecks und die Summe von 4 rechtwinkligen Dreiecken.

Sag mir Bescheid wie du die Aufgabe angehen möchtest.

LG

Rufio aktiv_icon

12:46 Uhr, 09.10.2008

ja cosinussatz sagt mir schon was, aber was bringt mir der, wenn ich die einzelnen Seitenlängen nicht gegeben habe?
Ich will bewusst den winkelfunktionen nicht aus dem weggehen weil ich das lernen will bzw. ist auch die aufgabenstellung so gegeben

ich habs mir so gedacht:
da

A =

c*hc/2 benötige ich

c

und hc

c =

sgrt((yA-yB)^2+(xB-xA)^2)

= \sqrt{{(2 - 4)}^{2} + {(7 - 2)}^{2} = 5,385}

das gleiche habe ich mit

b

und a auch angewendet und bekomme heraus:

b = 9,2195

a = 5,385

daraus schliess ich dass

b

die hypothenuse ist?????

dann rechne ich mit dem cosinussatz

α

aus:

α =

sinc

[

(a^2-b^2-c^2)/(-2bc)]

= 58,87

Grad

hc

= sin (α) \cdot b = 7,892

A =

c*hc/2

= 5,385 \cdot \frac{7,892}{2} = 21,25!!!

Das richtige ergebnis ist aber

22 \pm 0,00001!!!!!!!

Enrico aktiv_icon

13:35 Uhr, 09.10.2008

Da du die Koordinaten aller Punkte weißt kannst du doch die Seiten leicht ausrechnen.

\vec{A B} = (7 | 4) - (2 | 2) = (5 | 2)

\Rightarrow \bar{A B} = | \vec{A B} | = \sqrt{5^{2} + 2^{2}} = \sqrt{29}

Wenn du dann alle Seiten hast kannst du den Kosinussatz anwenden um einen Winkel zu bestimmen. Mit diesem Winkel kannst du dann die Höhe des Dreiecks bestimmen.

LG Enrico

Rufio aktiv_icon

13:37 Uhr, 09.10.2008

rechnest du jetzt mit vektoren oder wie? also

A, b, c

sind ORtsvektoren aus denen du dir die Seitenvektoren ausrechnest??? sollte eigentlich ohne vektoren auch gehen, da wir in dem kurs den ich mache, vektoren erst noch kommen.

Was ist aber dann an meiner rechnung falsch, müsste doch auch stimmen

Enrico aktiv_icon

13:40 Uhr, 09.10.2008

Ja, habe ich. Aber das hast du auch schon gemacht.

Ich habe die Seite AB ausgerechnet.

Ich hatte nicht gesehen, dass du dein letztes Posting editiert hast

- . -

Ich prüfe kurz ob alles stimmt.

Enrico aktiv_icon

13:46 Uhr, 09.10.2008

Also, vergiss meine Vektorenschreibweise, auch wenn die Rechnungen gleich sind XD

Hab deinen Fehler gefunden:

Die Seite die du als a bezeichnest ist

8,246

lang.

Rechnung:

\sqrt{{(9 - 7)}^{2} + {(- 4 - 4)}^{2}} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 8,246

Rufio aktiv_icon

13:55 Uhr, 09.10.2008

sorry, hab mich ovben verschrieben, natürlich habe ich für a auch den wert

8,246

herausbekommen. und die weiteren werte der oberen rechnung sind natürlich mit diesem a wert gerechnet worden!!!

also eigentlich müssts jetzt aber stimmen oder?

Enrico aktiv_icon

14:06 Uhr, 09.10.2008

Du hast den Sinus verwendet, aber wir nehmen doch den Kosinussatz her!

α = {cos}^{- 1} (\frac{{(\sqrt{68})}^{2} - {(\sqrt{85})}^{2} - {(\sqrt{29})}^{2}}{- 2 \cdot \sqrt{85} \cdot \sqrt{29}}) \approx

62,40°

Dann gilt:

sin α = \frac{h_{b}}{c}

wobei

h_{b}

die Höhe des Dreiecks ist auf die Seite

b

\Rightarrow h_{b} = sin α \cdot c = sin (62,40) \cdot \sqrt{29} = 4,77

Fläche des Dreiecks:

\Rightarrow A = \frac{h_{b} \cdot b}{2} = \frac{4,77 \cdot \sqrt{85}}{2} = 22

Rufio aktiv_icon

14:24 Uhr, 09.10.2008

ach shit

〉

ich hasse solche fehler, danke vielmals

〉

Enrico aktiv_icon

14:27 Uhr, 09.10.2008

Kein Thema!

LG

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