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Entfernung zweier Punkte auf einer Kugel berechnen
Schüler Berufsschulen, 13. Klassenstufe
Tags: Koordinaten, Kugel, Punkt
 
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Hallo, wir haben für das Wochenende eine Aufgabe aufbekommen. Wir sollen herausfinden, die Entfernung zweier Orte auf der Erde misst. Damit ist nicht die Entfernung einer geraden Strecke gemeint, sondern wie zwei Punkte auf einer Kugel (siehe Bild). Am besten wäre es, wenn die Kugel in ein kartesisches Koordinatensystem gezeichnet wird und man es mit Vektoren berechnet. Ich habe bereits einige Anleitungen zur Berechnung gefunden, allerdings wird dort nicht mit Vektoren gerechnet. Wie man dies tut, habe ich leider bisher noch nicht herausgefunden. Vielleicht kann man mir hier ja weiterhelfen. Desweiteren sollen wir es genau in das Koordinatensystem zeichnen. Unsere Lehrerin hat uns einen Tipp gegeben, dass man, wenn man in eine Richtung 1 Schritt macht, muss man in eine andere oder Schritte machen. Ich habe leider auch nicht herausgefunden, wie ich die Kugel genau einzeichnen kann. Vielen Dank.    |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ebene Geometrie - Einführung Grundbegriffe der ebenen Geometrie Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder |
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Ich nehme an, dass es um die kürzeste Vebindung geht. Diese liegt immer entlang eines Großkreises, der durch beide Punkte führt. Ein Großkreis ist ein Kreis, dessen Mittelpunkt gleich dem Mittelpunkt der Kugel ist. Dann brauchst Du nur noch den Winkel, den die Schenkel Erdmittelpunkt - Oberflächenpunkte miteinander einschliessen. |
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hm okay, ja etwas mit einem großkreis habe ich auch gelesen. Kann man das überhaupt mit Vektoren rechnen ? also kann man das darauf anwenden oder rechnet mit das insgesam ohne, also auch ohne koordinatensystem? kannst du das vielleicht anhand eines Beispieles noch etwas erläuter? |
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In welcher Form sind die Punkte gegeben ? . drei Koordinaten ? Welches ist dann das Koordinatensystem ? Mit Vektoren klappt es am einfachsten über das Skalarprodukt und den des eingeschlossenen Winkels. Dann Dreisatz: Grad ergeben km (Erdradius), Grad entsprechend. |
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Seien und 2Punkte auf einer Kugel, dann ist
=arccos der Winkel zwischen den Ortvektoren, wenn der Kugelmittelpunkt Koordinatenursprung ist und der Kugelradius. Als ist der Bogen |
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ja, die Punkte sind als Koordinaten gegeben, zb . Also habe ich das jetzt richtig verstanden, dass man nicht mehr braucht als den Winkel zu berechnen mit dem skalarprodukt? und den radius? also etwa so?: α = arccos α=64,6231° b(P1P2)=7⋅64,6231 ? ist das nicht ein bisschen zu groß? |
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liegt nach Pythagoras auf der Kugel um den Ursprung vom Radius dagegen liegt auf der Kugel mit Radius . Beide Radien sind definitiv nicht 7. Wie lautet also die Aufgabenstellung genau? |
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ne diese punkte habe ich mir auch gerade einfach willkürlich ausgedacht um einfach zu zeigen ob ich die rechnung verstanden habe. Wir sollen eine Kugel in ein kartesisches Koordinatensystem zeichnen. Dann sollen wir uns zwei Punkte aussuchen, die auf der Kugel liegen und den Abstand berechnen. |
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Ah, so. Beispielsweise liegen und beide auf der Kugel mit Radius . Damit sollte die oben vorgeschlagene Rechnung klappen. |
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Du musst den Winkel in Bogenmaß bestimmen |
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@hagman: wenn ich die Rechnung mit deinen gegebenen Punkten rechne, dann kommt für heraus und das ist doch ein bisschen groß, wenn der umpfang der kugel mit einem radius von nur etwa beträgt? |
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könnte man nicht auch einfach den Winkel ausrechnen, der zwischen den geraden von den Punkten zum Mittelpunkt der kugel liegt (siehe beigefügtes Bild), ausrechnen und dann mit der einfachen Kreisbogenrechnung den Abstand berechnen?  |
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Mit und und folgt und damit
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Dein Skalarprodukt hat einen Rechenfehler, der Zähler muss sein . Außerdem müssten die Vektoren den Betrag 7 (Kugelradius ) haben, da der Kugelmittelpunkt der Ursprung sein muss. |
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Die Punkte im Beispiel sind falsch gewählt, weil sie nicht auf einer Kugel um den Ursprung mit demselben Radius liegen.
Ein besseres Beispiel: und liegen auf einer Kugel um mit . Dann ist |
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