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Extremwertaufgabe, kleinster Abstand von Punkten

Schüler

Tags: Analysis, Bewegungsaufgabe, Extremwertaufgabe, Scheitelpunkt

 
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anonymous

anonymous

13:12 Uhr, 03.06.2020

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Hallo leute,
ich verzweifel seit 4 Tagen an folgender Extremwertaufgabe.

Zur Zeit t=0 startet von Punkt A aus ein Fahrzeug 1 mit der konstanten Geschwindigkeit v1=10ms in Richtung Punkt B. Zur gleichen Zeit setzt sich ein Fahrzeug 2 von dem Punkt B aus mit der konstanten Geschwindigkeit v2=5ms in Richtung Punkt C in Bewegung. (eingeschlossener Winkel CBA =b= 45°) Die Gesamtstrecke h von A nach B beträgt 600m.

Nach welcher Zeit t besitzen die beiden Fahrzeuge den geringsten Abstand g voneinander?

Ich habe mal eine Zeichnung angefertigt. Man sucht die zeit nach der der Abstand (blau)am kleinsten ist.

Ich verstehe nicht, wie man den Abstand so optimiert, dass er am kleinsten ist und wie man das am Ende mit der Zeit verbindet.

Danke schon einmal im Voraus



bild1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

14:27 Uhr, 03.06.2020

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Hallo,

Du musst für beide Fahrten das Bewegungsgesetz aufstellen.

1. x(t)=(0,0)+t⋅10⋅(1,0) für Fahrzeug 1

2. y(t)=(600,0)+t⋅5⋅(-12,12) für Fahrzeug 2

Also in beiden Fällen: Anfangspunkt +t⋅ Geschwindigkeit ⋅ Richtungsvektor (auf Länge 1 normiert).

Jetzt kannst Du den Abstand |x(t)-y(t)| (euklidischer Abstand) berechnen als Funktion von t und minimieren.

Gruß pwm
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Atlantik

Atlantik aktiv_icon

17:00 Uhr, 03.06.2020

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Ich habe einen Alternativweg aufgezeichnet.

mfG

Atlantik

Unbenannt
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anonymous

anonymous

17:53 Uhr, 04.06.2020

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@Atlantik
Stimmt das auch ?
Ist das wirklich die kürzeste Strecke für g ?
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Atlantik

Atlantik aktiv_icon

08:46 Uhr, 05.06.2020

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Danke dir P-R-O-O-F! Du hast recht. Ich bin aber immer noch auf der Suche nach einem anderen Weg als ihn pwmeyer vorgeschlagen hat.


mfG

Atlantik

Bild:

Unbenannt
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barana

barana aktiv_icon

10:34 Uhr, 05.06.2020

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Versuche es mal mit dem Cosinussatz!
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anonymous

anonymous

15:39 Uhr, 05.06.2020

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@anonymous
Als Werte zur Kontrolle:
tmin≈41,4965622807555[s]
gmin(t)≈151,6348395[m]


Es geht, wenn auch nicht so komfortabel, aber leicht nachzuvollziehen, über den S.d.P.
Mit α=45∘ ergibt sich ∣v2x∣≡∣v2y∣

∂∂t(h-t(∣v1∣+∣v2∣2)2+(∣v2∣2)2=0

gmin(t)=2(h-∣v1∣tmin)sin(π8)
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