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Extremwerte finden

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Funktionen

Tags: eben, Extremwert, Funktion, Kugel, Maximum, Minimum, Schnitt, schnittkurve

Nelio aktiv_icon

11:50 Uhr, 27.06.2017

Guten Tag, ich habe ein kleines Problem bei einer Lagrange-Multiplikation

Ich habe zwei Funktionen: Ebene:

x + y + z = 0

und eine Kugel

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

Aus der Ellipse die entsteht soll ich mir nun die Extremwerte berechnen.

Mittels Lagrange sieht

F (x, y, z, λ)

so aus

F = x + y + z + λ (x^{2} + y^{2} + z^{2})

Die Ableitungen für

x, y, z

sehen alle gleich aus, bis auf die Variable

(\frac{\partial F}{\partial} x) = 1 + 2 λ x

(\frac{\partial F}{\partial} λ) = x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

Wenn ich das ausrechne bekome ich

x = y = z = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}

raus.
Das sieht jetzt nicht so schlecht aus. Allerdings genügen die Punkte mit

P_{1} = (1, 1, 1) {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}

und

P_{2} = (- 1, - 1, - 1) {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}

meiner Ebenengleichung nicht. Für die Kreisgleichung würde es passen.

Was ist mein Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Lagebeziehung Ebene - Ebene
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Lagebeziehung Ebene - Ebene

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

11:59 Uhr, 27.06.2017

Extremwerte welcher Funktion berechnest Du denn?

Nelio aktiv_icon

12:23 Uhr, 27.06.2017

Die der Ellipse die sich ergibt wenn man die Ebene und die Kugel schneiden lässt.

DrBoogie aktiv_icon

12:27 Uhr, 27.06.2017

Ellipse ist keine Funktion, sie ist eine geometrische Figur. Sie kann daher gar keine Extrempunkte haben.

Nelio aktiv_icon

12:33 Uhr, 27.06.2017

Ok. Anders gesagt suche ich den höchsten und den niedeigsten Punkt der Kurve die entsteht wenn man die beiden Funktionen die oben beschrieben sind schneiden lässt.

DrBoogie aktiv_icon

12:35 Uhr, 27.06.2017

Höchsten? :-O
Was ist denn in

ℝ^{3}

hoch?
So was gibt's doch gar nicht.

Was steht wirklich in Deiner Aufgabe?

Nelio aktiv_icon

12:45 Uhr, 27.06.2017

Höchsten im Sinne von größtem z-Wert.

Das hier ist die Aufgabenstellung:

DrBoogie aktiv_icon

13:17 Uhr, 27.06.2017

Dann hast Du zwei Nebenbedingungen und nicht eine.
Und zu maximieren bzw. zu minimieren ist die Funktion

f (x, y, z) = z

.

Daher musst Du alles entsprechend umschreiben.

Atlantik aktiv_icon

13:18 Uhr, 27.06.2017

Vielleicht ist dieser Weg auch gangbar:

x + y + z = 0 \to z = - x - y

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

x^{2} + y^{2} + {(- x - y)}^{2} = 1

x^{2} + y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2} = 1

2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y = 1

. .

.

mfG

Atlantik

Nelio aktiv_icon

14:51 Uhr, 27.06.2017

Das würde dann heißen, dass mein

f = z

φ_{1} = x + y + z

φ_{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

ist. Folglich

F (x, y, z, λ_{1}, λ_{2}) = z + λ_{1} (x + y + z) + λ_{2} (x^{2} + y^{2} + z^{2})

\to (\frac{\partial F}{\partial i})

Kann ich dass so schreiben oder muss ich

φ_{1}

und

φ_{2}

noch umformen?

DrBoogie aktiv_icon

14:52 Uhr, 27.06.2017

So ist es OK.

UPDATE. Ah ne, die Zeile

φ_{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

ist Quatsch.

φ_{2}

muss eine Funktion sein. Die Schreibweise

φ_{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

ergibt gar keinen Sinn, denn da vermischst Du Funktionen und Gleichungen. Richtig wäre

φ_{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1

Nelio aktiv_icon

15:08 Uhr, 27.06.2017

Dann sollte nach einiger Rechnerei

x = - \frac{1}{\sqrt{6}}, y = - \frac{1}{\sqrt{6}}, z = \sqrt{\frac{2}{3}}

rauskommen.
Wenn ich das in

φ_{1}

einsetze kommt 0 raus was passt und für

φ_{2}

passt das ebenfalls.

Danke! Wie immer sehr hilfreich! :-)

PS: Ich habe übrigens bis jetzt noch nie vom Unterschied zwischen Funktion und Gleichung gehört gehabt. Hab mir dazu aber was durchgelesen, macht schon Sinn.

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