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Fehler bei Flächenberechnung: Kugeldreieck/Dreieck
Universität / Fachhochschule
Körper
Vektorräume
Tags: Analytische Geometrie, Dreieck, Körper, Kugel, Kugeldreieck, Vektorraum
 
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anonymous 16:24 Uhr, 23.06.2017  |
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Hallo, ich arbeite derzeit an einer Aufgabe und würde gerne ein kurzes Feedback hören, ob mein Lösungsansatz Sinn macht. Ich möchte den Fehler berechnen, den man macht, wenn man die äußere Oberfläche eines Kugeldreiecks mit einem Dreieck annähert. Dabei soll ich das Kugeldreieck in ein Kugelsegment und das Dreieck in einen Kreis einbetten. Es handelt sich um ein näherungsweise gleichseitiges Dreieck, dessen Fläche bekannt ist. Den Fehler, den man macht, wenn man die Fläche einer Kugelhaube mit seinem Grundkreis annähert, lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben, die ich abgeleitet habe: Fehler = 1-r^2/(2R(R-√(R^2-r^2))) ist dabei der Radius der Kugel und fest, ist der Radius des Schnittkreises, der entsteht, wenn man ein Kugelsegment aus der Kugel entfernt. Um die Obergrenze des Fehlers (Kugeldreieck/Dreieck) zu berechnen, habe ich folgenden Ansatz gewählt: Ich habe den Radius des Umkreises um das Dreieck gewählt, was bei einem gleichseitigen Dreieck r=2/3∙h ist und in Abhängigkeit der Dreiecksfläche und der Seitenlänge(a) eingesetzt (A_Dreieck=1/2 a ∙h). Daraus ergibt sich der Umkreisradius zu 4/3∙(A_Dreieck)/a. Diesen Radius habe ich in die erste Gleichung eingesetzt und einen Fehler von erhalten. Macht meine Vorgehensweise Sinn? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks Flächeninhalte Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder Raummessung Winkelsumme | |
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Eine Zeichnung wäre hilfreich, um besser nachvollziehen zu können, was Du meinst. Der Fehler ist sicher nicht immer gleich - ich kann nicht nachvollziehen, wie Du dahin kommst. |
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anonymous 09:30 Uhr, 24.06.2017 |
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Danke, für die Rückmeldung. Ich habe 3 Zeichnungen angehängt, dessen Aussage ich verwendet habe (aus dem Internet übernommen). Ich versuche meinen Ansatz nochmal darzustellen. 1.Ich möchte die Obergrenze der Abweichung herausfinden, die man macht, wenn man eine Kugeldreiecksfläche mit einer Dreiecksfläche substituiert. 2.Dazu bette ich die Kugeldreiecksfläche in eine Kugelsegmentoberfläche ein und die Dreiecksfläche in eine Kreisfläche und berechne den Fehler, den man macht, wenn man die Kugelsegmentoberfläche mit seinem Grundkreis substituiert. 3. Um den Fehler Kugelsegmentfläche/Grundkreisfläche zu berechnen, brauche ich den Radius der Kugel (bekannt) und den Radius des Grundkreises. Der Radius des Grundkreises hängt von der Fläche des gleichseitigen Dreiecks ab (siehe Anhang),welches in den Grundkreis eingebettet wird. Dabei ist die Dreiecksfläche aus der Aufgabenstellung bekannt. (Erkenntnis der Untersuchung: Je kleiner das Kugeldreieck (bzw. das Kugelsegment), desto besser die Annäherung durch ein Dreieck (bzw. Grundkreis).) Ich hoffe mein Ansatz ist jetzt verständlich.    |
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2.Dazu bette ich die Kugeldreiecksfläche in eine Kugelsegmentoberfläche ein hier fehlt die Information, wie du das genau machst! Schneidest du die Kugel einfach mit der Ebene durch die drei Dreieckspunkte? und die Dreiecksfläche in eine Kreisfläche Welches Dreieck?? UNd warum schreibst du oeben von einem gleichseitigen Dreieck? und berechne den Fehler, den man macht, wenn man die Kugelsegmentoberfläche mit seinem Grundkreis substituiert. Und jetzt sind wir also völlig vom sphärischen Dreieck weg. Das spielt nun keine Rolle mehr. Der Radius des Grundkreises hängt von der Fläche des gleichseitigen Dreiecks ab (siehe Anhang),welches in den Grundkreis eingebettet wird. Tja, da wärs nun nicht ganz unwichtig zu wissen, wie du vom sphärischen Dreieck (wodurch genau ist dieses bei dir eigentlich gegeben?) zu diesem mysteriösen gleichseitigen Dreieck eigentlich kommst. Du schreibst immer nur kryptisch vom "einbetten". Wenn du die Mantelfläche eines Kugelabschnitts mit der Fläche seines Basiskreises vergleichst und wir uns auf Abschnitte beschränken, deren Höhe dem Kugelradius sind, dann ist der worts case die Halbkugel, bei der sich die Flächen wie verhalten. Für eine Näherung wohl unbrauchbar. Lassen wir einen Kugelabschnitt zu, dessen Höhe größer als der Kugelradius ist, dann kann man dieses Verhältnis sogar beliebig groß machen. Im Extremfall betrachten wir die ganze Kugel als Kreisabschnitt mit der Höhe und der Basiskreis (Südpol) hat den Radius Null. Flächenverhältnis . |
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anonymous 11:00 Uhr, 24.06.2017 |
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2.Dazu bette ich die Kugeldreiecksfläche in eine Kugelsegmentoberfläche ein >hier fehlt die Information, wie du das genau machst! Schneidest du die Kugel einfach mit der Ebene durch die drei Dreieckspunkte? Indem ich das Ergebnis aus der Kugelsegmentfläche(Grundkreis-Abweichung) als Obergrenze für die Kugeldreiecksfläche(Dreieck-Abweichung) nehme. Ein Kugeldreieck kann ja im maximalen Fall zu einem Kugelsegment werden, wenn man einen Eckpunkt fix lässt und die unteren Punkte weiter auseinander zieht, bis sie sich treffen. Das "Einbetten" des GLEICHSEITIGES Dreiecks in eine Kreisfläche mache ich, indem ich den Radius des Kreises in Abhängigkeit von der Dreiecksfläche darstelle. (Siehe Zeichnung.) und berechne den Fehler, den man macht, wenn man die Kugelsegmentoberfläche mit seinem Grundkreis substituiert. >Und jetzt sind wir also völlig vom sphärischen Dreieck weg. Das spielt nun keine Rolle mehr. Ja, wir sind weg vom sphärischen Dreieck, da das Ergebnis von Kugelsegment verwendet wird. (Fehler Kugelsegment = Obergrenze des Fehlers für Kugeldreieck Erklärung oben.) Der Radius des Grundkreises hängt von der Fläche des gleichseitigen Dreiecks ab (siehe Anhang),welches in den Grundkreis eingebettet wird. >Tja, da wärs nun nicht ganz unwichtig zu wissen, wie du vom sphärischen Dreieck (wodurch genau ist dieses bei dir eigentlich gegeben?) zu diesem mysteriösen gleichseitigen Dreieck eigentlich kommst. Du schreibst immer nur kryptisch vom "einbetten". ->Die Seiten des sphärischen Dreiecks sind alle gleich lang. Das gleichseitige Dreieck wird wie folgt aus dem sphärischen Dreieck abgeleitet: Die Eckpunkte des sphärischen Dreiecks und des normalen Dreiecks sind die gleichen, nur dass das sphärische Dreieck halt sphärisch ist und dies "Kugelhaube hat" statt eine ebene Fläche zwischen den Eckpunkten. >Wenn du die Mantelfläche eines Kugelabschnitts mit der Fläche seines Basiskreises vergleichst und wir uns auf Abschnitte beschränken, deren Höhe ≤ dem Kugelradius sind, dann ist der worts case die Halbkugel, bei der sich die Flächen wie verhalten. Für eine Näherung wohl unbrauchbar. Lassen wir einen Kugelabschnitt zu, dessen Höhe größer als der Kugelradius ist, dann kann man dieses Verhältnis sogar beliebig groß machen. Im Extremfall betrachten wir die ganze Kugel als Kreisabschnitt mit der Höhe und der Basiskreis (Südpol) hat den Radius Null. Flächenverhältnis 4r2π:0. Ja, diese Ergebnisse habe ich auch. |
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Die Info, dass dein sphärisches Dreieck gleichseitig ist, war neu. Nachdem wir offenbar d'accord sind, dass im Extremfall einer Halbkugel der Fehler, den man bei Ersetzen der Mantelfläche durch die Basiskreisfläche macht, ist, frage ich mich, ob du wirklich so eine Näherung in Betracht ziehen möchtest und vor allem, wie das nun zu dem phantastischen Wert passt, den du in deinem ersten Posting genannt hast. Und wenn es dir nur um kleine Dreiecke geht, kannst du ohnedies einfach Legendre verwenden de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Legendre |
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anonymous 14:38 Uhr, 24.06.2017 |
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Nachdem wir offenbar d'accord sind, dass im Extremfall einer Halbkugel der Fehler, den man bei Ersetzen der Mantelfläche durch die Basiskreisfläche macht, ist, frage ich mich, ob du wirklich so eine Näherung in Betracht ziehen möchtest und vor allem, wie das nun zu dem phantastischen Wert passt, den du in deinem ersten Posting genannt hast. Und wenn es dir nur um kleine Dreiecke geht, kannst du ohnedies einfach Legendre verwenden → de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Legendre Bei der Aufgabe geht es weniger darum eine sinnvolle Näherung zu bestimmen, sondern darum diese Obergrenze des Fehlers zu finden. Daher ist die Frage, ob mein Ansatz so Sinn macht. |
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Hallo du redest immer darüber, dass die Fläche des Dreiecks gegeben ist, ist auch der Kugelradius gegeben? Also was genau ist bekannt? Gruß ledum |
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Daher ist die Frage, ob mein Ansatz so Sinn macht. Offenbar stört dich der Unterschied vs. nicht sonderlich. |
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