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Funktion zu einem Funktionswert bestimmen

Schüler

Tags: Funktionswert, Polynomdivision

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20:13 Uhr, 09.02.2021

Moin bin

30

gebe meiner kleinen Schwester Nachhilfe, komme hier jedoch nicht weiter. Habe durch googlen versucht die Polynomdivision anzuwenden, jedoch bleibt ein Rest von

27

übrig. Entweder unsere Lösung ist komplett falsch und man wendet nicht einmal die Polynomdivison an oder ich weiß nicht was man mit dem Rest

27

anstellt. Ich vermute aber ich bin komplett auf der falschen Fährte. Ich bitte um Hilfe. :-)

Bestimmen sie die Stelle, an der die Funktion

f

den angegebenen Funktionswert hat.

a) f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 1;

angegebener Wert

: 23

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Grenzwerte im Unendlichen
Nullstellen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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20:17 Uhr, 09.02.2021

Hallo,

diese Funktion hat keine ganzzahligen Nullstellen.

Siehe hier:

www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3-2x%5E2%2B4x%2B1%3D0

Gruß
pivot

rundblick aktiv_icon

20:29 Uhr, 09.02.2021

a) f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 1;

angegebener Wert

: 23 . .

\leftarrow

??

vielleicht stimmt ja der angegebene Wert nicht ganz ? wer weiss?

zB

\to

mit dem geringfügig geänderten Wert

\to 22

bekommst du den ganzzahligen Wert

x = 3 .

. :-)

f (x) = 22, . .

x =

\Rightarrow

22 = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 1

\Rightarrow 0 = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 21 . .

\Rightarrow x = 3

also: mal nachschauen

. .

.

ok?

nebenbei:
brauchst du noch einen Tipp, wie du mögliche ganzzahlige Lösungen von

x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 21 = 0

einfach finden könntest?
.

BraucheHilfeBro aktiv_icon

21:07 Uhr, 09.02.2021

Ich habe mich vertippt! Der im Buch angegebene Wert ist

- 23

und nicht

23

. Ich weiß nicht wie ich das im Beitrag ändern kann.
@rundblick dieser Funktionswert ist vorgegeben. Kann es sein, dass diese Funktion gar nicht den Wert von

- 23

annimmt?
Und ja Polynome dritten Grades - wie findet man da denn einfach ganzzahlige Lösungen?

rundblick aktiv_icon

21:20 Uhr, 09.02.2021

.
na also .. :-)

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 1;

angegebener Wert

: - 23

"Kann es sein, dass diese Funktion gar nicht den Wert von

- 23

annimmt?"

nein - kubische Parabeln nehmen jeden Wert an (..mindestens einmal )

dein neuer Wert :

f (x) = - 23, . .

x =

\Rightarrow

- 23 = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 1

\Rightarrow 0 = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 24 . .

\Rightarrow x = - 2

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 1

f (- 2) = - 23

ok?

pivot aktiv_icon

21:20 Uhr, 09.02.2021

Also ist die Gleichung

x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 1 = - 23

und somit

x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 24 = 0

Wenn es eine ganzzahlige Lösung existiert, dann teilt sie auch das Absolutglied, hier

24

. Also sind z.B. mögliche Kandidaten für die Nullstellen 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...
Diese kannst du jetzt nacheinander einsetzen und schauen für welchen x-Wert die Gleichung gilt. Danach Polynomdivision, wenn das in der Aufgabe gefordert wird.
Der Teiler ist

(x - x_{0})

BraucheHilfeBro aktiv_icon

21:26 Uhr, 09.02.2021

@rundblick diese Gleichungsumformung hatten wir auch, dann haben wir die Polynomdivision für Polynome dritten Grades angewandt aber Rest

27

hat sich ergeben. Ich glaube aber die Anwendung der Polynomdivision an sich ist hier fehl am Platz oder?

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21:31 Uhr, 09.02.2021

@pivot löst man das einfach durch Einsetzen? In jedem Fall? Ohne Rechenweg? Das kann ja ewig dauern. :-)

pivot aktiv_icon

21:36 Uhr, 09.02.2021

@BraucheHilfeBro

Wenn keine Nullstelle vorgegeben ist, dann ist eine kubische Gleichung in der Regel nicht einfach zu lösen- im Gegensatz zur linearen bzw. quadratischen Gleichung.

Wenn ich keinen Rechner zur Hand hätte, dann würde ich genauso vorgehen und schauen ob eine ganzzahlige Lösung existiert. Das dauert auch nicht zwingend ewig wie in diesem Fall.

Edit: Dass die Werte x=1 und x=-1 die Gleichung nicht erfüllen ist schnell ermittelt. Danach eben die Werte x=2 und x=-2 einsetzen. Das geht auch relativ fix und man hat den gesuchten x-Wert ermittelt.

rundblick aktiv_icon

21:53 Uhr, 09.02.2021

.
"...fehl am Platz oder?..)

also:
wenn du von der Funktion

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 1

den

x -

Wert suchst, für den

f (x) = - 23

wird

also die Gleichung

x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 1 = - 23

lösen willst

dann kannst du das so lesen: suche die möglichen Nullstellen

der Funktion

g (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 24

und wie der Kollege auch wusste , kannst du mögliche ganzzahlige Lösungen der kubischen
Gleichung

x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 24 = 0

finden wenn du zB die Teiler von

24

durchtestest

(\pm 1, \pm 2, \pm 3

...bis..

\pm 12, \pm 24)

und falls du mit

e i n e m

Wert fündig wirst kommt Freude auf und du kannst zur Polynomdivision greifen
hier also

\to (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 24) : (x + 2) = .

.
und die müsste ohne Rest aufgehen ,wenn

x = - 2

wirklich eine Lösung ist .. :-)
du wirst dann einen quadratischen Term in

x

erhalten

falls die zugehörende quadratische Gleichung dann auch Lösungen (zB nicht ganzzahlige) hätte ,
dann wären dies weitere Lösungen der kubische Ausgangsgleichung.

nebenbei: du wirst bei deinem Beispiel keine weiteren Lösungen in

R

erhalten,
da diese kubische Parabel

\to f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 1

monoton wachsend ist für alle

x \in ℝ

ok?

pivot aktiv_icon

22:00 Uhr, 09.02.2021

@rundblick

>>dann kannst du das so lesen: suche die möglichen Nullstellen<<

Eher nicht, da in der Aufgabe steht, dass man

\underline{die}

Stelle bestimmen soll, an der die Funktion f den angegebenen Funktionswert hat.
Die Frage impliziert, dass es nur eine Stelle gibt.

rundblick aktiv_icon

22:18 Uhr, 09.02.2021

.
"Die Frage impliziert, dass es nur eine Stelle gibt."

na ja, pivot .. aber was, wenn ein anderer "die" Stelle woanders findet? .. :-)

denn - wie du vielleicht weisst - soll es kubische Parabeln geben, die sogar drei
Nullstellen haben (also die verschoben Kurve

f (x)

dann einen bestimmten Wert (zB

- 23)

dreimal freudig annimmt

) .

.

dass es bei dem geg. Beispiel nur einen einzigen x-Wert gibt, weisst du zB erst mit
Gewissheit, wenn du vorher untersucht hast, ob die Beispielkurve steng monoton daherkommt ..:-)

nebenbei: diesen Hinweis habe ich oben schon verkauft..
und deshalb geht es nur um eine Stelle: weil hier keine Weitere möglich ist.
..alles klar ?
.

pivot aktiv_icon

22:22 Uhr, 09.02.2021

Wie gesagt: Wenn man sich die Frage anschaut, dann geht es eben nur um die eine Stelle bei der

f (x_{0}) = 23

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22:55 Uhr, 09.02.2021

Ich danke euch Leute das hat mir weitergeholfen!

rundblick aktiv_icon

23:05 Uhr, 09.02.2021

.
schade, der Fragesteller ist abhanden gekommen (eingeschlafen?)

und bekommt gar nicht mehr
mit, dass pivot müde noch die ursprüngliche Aufgabe
(" die eine Stelle bei der

f (x 0) = 23

. ") ausgräbt ,

die ja selbstverständlich - wie im FrageText schon ersichtlich - auch nur eine ("die") Lösung hat, die aber
leider irgendwie unerfreulich "nicht ganz" ist, weshalb mit Teiler testen kein Erfolgserlebnis eintritt. .. :-)
.. dann also : gute Nacht !

pivot aktiv_icon

23:08 Uhr, 09.02.2021

<<schade, der Fragesteller ist abhanden gekommen (eingeschlafen?)<<

Gilt wohl eher für dich. Er hat doch schon reagiert. Gute Nacht. Ich gehe jetzt auch schlafen.

pivot aktiv_icon

08:19 Uhr, 11.02.2021

@rundblick

>>die ja selbstverständlich - wie im FrageText schon ersichtlich - auch nur eine ("die") Lösung hat, die aber leider irgendwie unerfreulich "nicht ganz" ist, weshalb mit Teiler testen kein Erfolgserlebnis eintritt. .. :-)<<

Verstehe ich nicht. Die Lösung ist doch

x_{0} = 2

, als ganzzahlig.

rundblick aktiv_icon

15:33 Uhr, 11.02.2021

.
"Verstehe ich nicht. Die Lösung ist doch

x_{0} = 2,

als ganzzahlig."

langsam wird du zu einem bemitleidenswerten pivot

Es begann mit deinem pivot-Eintrag

\to 22 : 22

Uhr,

09.02.2021

siehe

\to

"Wie gesagt: Wenn man sich die Frage anschaut, dann geht es eben nur um die eine Stelle bei der

f (x_{0}

)=23."

23 : 05

Uhr,

09.02.2021 \to

da versuche ich, dich darauf aufmerksam zu machen, dass du wohl
versehentlich

\to 23

statt

\to - 23

eingetippt hast (die

+ 23

war zu Beginn Thema - da warst du
ja noch einigermassen klar : siehe

\to

20 : 17

Uhr,

09.02.2021 \to

"diese Funktion hat keine ganzzahligen Nullstellen."

und jetzt kommst du daher und behauptest

\to

"Die Lösung ist doch

x_{0} = 2

"

und wohlgemerkt

\to

für die vom Fragesteller korrigierte neue Angabe

\to f (x_{0}) = - 23

ist die richtige Lösung

\to x_{0} = - 2 .

. (siehe schon oben

\to 21 : 20

Uhr,

09.02.2021)

also auch nichts mit deiner Behauptung vonwegen "ist doch

x_{0} = 2

"

Ich weiss ja nicht, wie du tickst; aber solch unsorgfältige Beiträge solltest du dir besser sparen;
ich werde sie nicht mehr kommentieren.
.

.

pivot aktiv_icon

15:56 Uhr, 11.02.2021

Dein Ton ist vollkommen drüber. Das ist nicht angemessen für ein Mathematik-Forum. Nur gut, dass deine Beiträge unmissverständlich sind.

tedreagan aktiv_icon

12:27 Uhr, 13.02.2021

Hi. Es ist ganz einfach. Um die Stelle zu bestimmen, an der eine Funktion einen ganz bestimmten Funktionswert annimmt, setzt man die Funktion mit dem Funktionswert gleich:

x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 1 = - 23

jetzt bringt man die

- 23

auf die linke Seite:

x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 24 = 0

jetzt muss eine Nullstelle durch ausprobieren herausgefunden werden,

z . B . : x = - 2,

denn:

{(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24 = 0

dadurch ergibt sich der Linearfaktor

(x + 2),

sodass man die Polynomdivision durchführen kann:

\frac{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 24}{x + 2}

wenn ihr die Polynomdivision richtig ausgeführt habt, dann kommt

x^{2} - 4 x + 12

als richtiges Ergebnis heraus. Berechnet man dies wiederum mithilfe zum Beispiel der pq-Formel, dann erhält man keine reale Lösung, sodass

x = - 2

als einzige Lösung bestehen bleibt. Also hat die Funktion an der Stelle

x = - 2

den Funktionswert

- 23

.

Ich hoffe das konnte helfen, da andere Teilhaber dieser Konversation scheinbar lieber infantil über Kleinigkeiten streiten, anstatt zu helfen, Ted

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