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Funktionen auf Monotonie untersuchen!

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Funktionen

Tags: e-Funktion, Monotonie

KittyCat aktiv_icon

17:20 Uhr, 08.09.2008

hi!
ich soll folgende funktion auf monotonie untersuchen:

f (x) = e^{- 3 \cdot x} - 2

Um die Monotonie zu bestimmen muss ich ja nun erst mal die Extrema der Funktion bestimmen,oder?

f´(x)

= - 3 \cdot e^{- 3 \cdot x}

f´´(x)

= 9 \cdot e^{- 3 \cdot x}

Extrema:

(1)

f´(x)=0

\Leftrightarrow - 3 \cdot e^{- 3 \cdot x} = 0 \Leftrightarrow e^{- 3 \cdot x} = 0 \Leftrightarrow - 3 \cdot x = 0

(2)

f´´(0)

= 9 \cdot e^{- 3 \cdot 0} = 9 \cdot e^{0} = 9 \cdot 1 = 9 \to

Tiefpunkt in

x = 0

Sooo, heisst das jetzt, dass die Funktion zwischen 0 und +unendlich (streng) monoton steigend ist, da der TP der kleinste Punkt in der Umgebung ist und alle folgenden werte steigen

(x 1 < x 2 < x 3 . .)

Hab ich das mit der Monotonie richtig verstanden und habe alles richtig gemacht???
Vielen dank im vorraus!
Gruß Caro

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

BjBot aktiv_icon

17:31 Uhr, 08.09.2008

Dass sich das Monotonieverhalten an den Extremstellen ändert hast du richtig verstanden. Jedoch hat der Graph dieser Funktion gar keine Extrempunkte.
Du kannst nicht von e^-3x=0 auf -3x=0 schließen, das macht keinen Sinn.

anonymous

17:34 Uhr, 08.09.2008

Hallo,

Monotonie hat prinzipiell erst mal nichts mit Extrema zu tun, sondern z.B. monoton steigend heißt, dass

f (x_{1}) \geq f (x_{2})

, wenn

x_{1} > x_{2}

für alle

x_{1}, x_{2}

aus dem Definitionsbereich gilt. Die Funktion heißt streng monoton steigend, wenn

f (x_{1}) > f (x_{2})

ist.

Es gibt aber einige Zusammenhänge zwischen Monotonie und Extrema, so besitzt eine streng monotone Funktion keine Extrema. Wenn du also Extrema findest, ist es keine streng monoton steigende Funktion. Jedoch kann die Funktion noch immer einfach monoton steigend sein...

Nun zu der Aufgabe, die du gerechnest hast. Du hast die Ableitungen richtig bestimmt, jedoch bei der Nullstellenbestimmung von f'(x) bist du ins Schleudern gekommen. Im letzten Schritt scheinst du zu behaupten, dass

e^{0} = 0

ist, das ist aber leider falsch. Es gilt:

e^{0} = 1

(alles hoch 0 ist gleich 1).

Es geht sogar noch weiter:

e^{x} > 0

für alle

x \in ℝ

, damit ist dein f'(x)<0 für alle x aus dem Definitionsbereich. Was bedeutet das denn für die Monotonie, wenn die erste Ableitung einer Funktion, die ja die Steigung beschreibt, immer negativ ist?

Gruß
Tobias

anonymous

17:39 Uhr, 08.09.2008

Ich hab grad den Beitrag von BjBot gelesen... Um Missverständnisse zu verhindern, man kann sich z.B. die Frage stellen, ob f auf einem Intervall monoton ist, dann sagt man, f ist auf dem Intervall [a,b] monoton steigend, oder man kann sich dieselbe Frage für den gesamten Definitionsbereich stellen. Letzteres habe ich gemacht, man fragt dann, ob die Funktion monoton steigend/fallend ist.

Stellt man sich die Frage nur auf einzelne Abschnitte bezogen, dann hat BjBot Recht, dann ändert sich das monotone Verhalten zwischen den Extremas.

KittyCat aktiv_icon

17:47 Uhr, 08.09.2008

hallo tobias!
ja nach deiner beschreibung würde das heissen, dass die funktion monoton fallend ist (einen negative steigung = fallen), oder etwa nicht?
aber ich verstehe nicht was man denn dann aufs blatt bringen muss..

und zu den extrema ich habe

e^{0} = 1

deswegen kommt bei mir ja 9 raus...

ich darf ja nicht durch null teilen, das weiss ich ja allerdings auch, aber wie würde ich denn dann bei so einer aufgabe wie dieser anfangen, wenn ich nullstellen bestimmen will?

anonymous

17:50 Uhr, 08.09.2008

Ja, bei der zweiten Ableitung hast du das richtig gemacht, aber nicht bei der ersten Ableitung.

Wenn die erste Ableitung immer negativ ist, heißt das nicht nur, dass die Funktion monoton fallend ist, sie ist sogar streng monoton fallend. Frage ist nur, ob euer Dozent das so akzeptiert.

KittyCat aktiv_icon

17:59 Uhr, 08.09.2008

ja, das habe ich verstanden...
aber ist das alles? kann man das nicht irgendwie auch errechnen? mich wundert es, es handelt sich bei dieser aufgabe um eine alte klausur aufgabe und für diese soll es

10

punkte geben, aber die bekommt an ja nicht weil man weiss dass

e^{- x} < 0

ist... und somit die ableitung negativ ist und die funktion streng monoton fallend ist, oder etwa doch, müsste ja so sein, wenn man nichts rechnen kann??!

aber bitte noch mal zu der nullstellen bestimmung, kann mir jemand sagen wie ich bei solch einer aufgabe vorgehe wenn ich die nullstellen bestimmen will??

anonymous

18:13 Uhr, 08.09.2008

Also:

e^{- x} > 0

, aber streng monoton fallend.

e^{x} > 0

aber streng monoton steigend. Deine erste Ableitung ist nur negativ, da du den Faktor -3 davor stehen hast, und etwas negatives mit etwas positivem multipliziert ergibt etwas negatives.

Bei deiner Nullstellenberechnung bist du eigentlich schon ganz richtig vorgegangen:

f ʹ (x) = 0 \Leftrightarrow - 3 \cdot e^{- 3 \cdot x} = 0 \Leftrightarrow^{=} 0

, nur der letzte Schritt stimmt nicht. Jetzt hätte man sagen müssen

e^{- 3 \cdot x} > 0

für alle reellen x und daraus folgern müssen, dass f' keine Nullstellen besitzt.

Die Monotonie kann man errechnen, aber mir fällt da jetzt keine einfache Methode ein. Habt ihr denn die Potenzreihe der e-Funktion gehabt?

KittyCat aktiv_icon

19:19 Uhr, 08.09.2008

nein, soweit ich weiss haben wir das nicht gehabt!
aber ich dank dir /euch vielmals.. ich glaub ich muss noch mal ne nacht drüber schlafen und dann hab ich es richtig kapiert!
danke..
lg caro

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