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Gaußsche Summenformel

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Formel, Formel aufstellen, Gauss, Gaußsche Summenformel

 
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mathstudent20

mathstudent20 aktiv_icon

14:02 Uhr, 08.11.2018

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Hallo zusammen,

Ich bin gerade dabei, diese Aufgabe zu bearbeiten:

Stellen Sie eine Formel für die Summe der ersten n dritten Potenzen auf: 13+23+33+...+n3=

das wäre ja im Prinzip die Gaußsche Summenformel nur mit hoch 3

die normale Summenformel wäre ja: n(n+1)12, die Herleitung ist mir hier auch klar.

Im Internet habe ich auch schon gesehen, dass die Summenformel im Quadrat so aussieht: 1/6•n•(n+1)•(2n+1)

allerdings verstehe ich dort schon nicht, wie man auf diese Formel kommt.

Kann mir jemand erklären, wie diese Formel zustande kommt, und wie man die Formel für die Summenformel hoch 3 erstellt?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel
Antwort
Matheboss

Matheboss aktiv_icon

15:19 Uhr, 08.11.2018

Antworten
Vielleicht hilft Dir das weiter.

www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel2.htm


Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:14 Uhr, 08.11.2018

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Hallo,
wie kommt man z.B. auf die richtige Formel?
Wir gehen davon aus, dass die Formel ein Polynom in n ist.
Betrachten wir den Anfang der Wertetabelle dieser Funktion:
p(1)=1,p(2)=9,p(3)=36,p(4)=100,p(5)=225,p(6)=441.
Nun bilden wir die Differenzen dieser Funktionswerte:
8,27,64,125,216, dann die zweiten Differenzen, also
die Differenzen der Differenzen:
19,37,61,91. Die 3-ten Differenzen sind:
18,24,30. Die 4-ten Differenzen sind alle gleich:
6,6,6,.
Dies sagt uns, dass die gesuchte Funktion ein Polynom 4-ten Grades ist.
Da p(0)=0 ist, hat es die Gestalt:
p(n)=a4n4+a3n3+a2n2+a1n.
Damit bekommen wir:
p(1)=a4+a3+a2+a1=1
p(2)=16a4+8a3+4a2+2a1=9
p(3)=81a4+27a3+9a2+3a1=36
p(4)=256a4+64a3+16a2+4a1=100.
Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten.

Zur Erleichterung der Lösemüh hier ein praktischer LGS-Rechner:
rechneronline.de/lineare-algebra/gleichungssysteme.php
...
Mal sehen, ob du die richtige Formel erhältst.
Gruß ermanus

Bei (siehe Matheboss)
www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel2.htm
kannst du das dann noch bestätigen (ganz unten auf der Seite) k=3.

mathstudent20

mathstudent20 aktiv_icon

20:10 Uhr, 11.11.2018

Antworten
Danke für die Antworten.
Gibt es vielleicht noch eine andere Lösung, bei der man nicht ein LGS lösen muss?
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ermanus

ermanus aktiv_icon

09:47 Uhr, 12.11.2018

Antworten
Eine Möglichkeit wäre, die Gleichheit
(1+2++n)2=13+23++n3
irgendwie auf "trickreiche Weise" zu begründen.
Leider ist mir hierzu bisher nichts eingefallen.

Wenn man die Summenformel für Kuben schon vorliegen hat,
kann man sie natürlich mit vollständiger Induktion beweisen,
aber das ist ja nicht das Gleiche wie sie herzuleiten.

Gruß ermanus
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

11:00 Uhr, 12.11.2018

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Als Anregung folgendes Bild:
(1+2+3)(1+2+3):
Zeile 1: 1(1+2+3)
Zeile 2: 2(1+2+3)
Zeile 3: 3(1+2+3)

Schwarze Summe = 13
Rote Summe = 23
Grüne Summe = 33.

Nun eine Formel für diese "Haken" mit gleicher Farbe aufstellen ...

Gruß ermanus


kubensumme
Antwort
Edddi

Edddi aktiv_icon

12:22 Uhr, 12.11.2018

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... eine Möglichkeit wäre folgende:

Dazu muss allerdings schonmal die Summe der Quadratzahlen hergeleitet werden.

z.B. so: www.onlinemathe.de/forum/Summe-Quadratzahlen

Damit dann k=1nk2=16n(n+1)(2n+1)

Analog die Summe der Kuben. Betrachtet man die Differenz der Kuben 1,8,27,64,... so ergeben sich folgende Differenzen:

16+1

36+1

66+1

106+1

Die Faktoren 1,3,6,10,... sind die Dreieckszahlen Δ1,Δ2,...

mit Δn=n2(n+1) [Summe der natürlichen Zahlen]

Die Summe der Kuben kann dann also geschrieben werden als:

k=1nk3=[1]+[1+6Δ1+1]+[1+6Δ1+1+6Δ2+1]+....

k=1nk3=[6Δ0+1]+[6Δ0+6Δ1+2]+[6Δ0+6Δ1+6Δ2+3]+....

k=1nk3=k=1n[6(i=1kΔi-1)+k]=6k=1n[i=1kΔi-1]+k=1n[k]=6k=1n[i=1kΔi-1]+n2(n+1)

Nun zur unschönen Summe: k=1n[i=1kΔi-1]=[Δ0]+[Δ0+Δ1]+[Δ0+Δ1+Δ2]+...+[Δ0+Δ1+...+Δn-1]

=nΔ0+(n-1)Δ1+(n-2)Δ2+...+1Δn-1

=k=1n(n-k+1)Δk-1

Einsetzen der Formel für die Dreieckszahl Δk-1=k-12((k-1)+1)=k22-k2:

=k=1n(n-k+1)(k22-k2)

=k=1n(-12k3+(1+n2)k2-n+12k)

=-12k=1nk3+(1+n2)k=1nk2-n+12k=1nk

Dies könnnen wir jetzt einsetzen in:

k=1nk3=6k=1n[i=1kΔi-1]+n2(n+1)

k=1nk3=6(-12k=1nk3+(1+n2)k=1nk2-n+12k=1nk)+n2(n+1)

k=1nk3=-3k=1nk3+(6+3n)k=1nk2-(3n+3)k=1nk+n2(n+1)

jetzt bringen wir die Reihe der Kuben auf die andere Steite:

4k=1nk3=(6+3n)k=1nk2-(3n+3)k=1nk+n2(n+1)

setzen die bekannte Summe der Quadrate und der nat. Zahlen ein:

4k=1nk3=(1+n2)n(n+1)(2n+1)-(3n+3)n2(n+1)+n2(n+1)

4k=1nk3=12n(n+1)(n+2)(2n+1)-(3n+3)n2(n+1)+n2(n+1)

4k=1nk3=12n(n+1)[(n+2)(2n+1)-(3n+3)+1]

4k=1nk3=12n(n+1)[2n2+2n]

4k=1nk3=12n2(n+1)[2n+2]

4k=1nk3=n2(n+1)2

k=1nk3=14n2(n+1)2

... puh!
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