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Geometrie im vierdimensionalen Raum

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: 4d, eben, Gerade, Lagebeziehung, Lineare Algebra, Parameterdarstellung, Punkt, vierdimensionaler raum

Scholle11 aktiv_icon

14:23 Uhr, 26.11.2010

ich brauche eure hilfe!
muss in mathe eine präsentation über die geometrie im vierdimensionalen raum halten.
die konkrete aufgabenstellung lautet:

Wie würden Parameterdarstellungen von Punkten, Geraden und Ebenen in einem vierdimensionalen Raum aussehen? Welche Lagebeziehungen wären möglich?

hab wirklich noch gar keine ahnung, würde mich über jede hilfe freuen..
danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Ebene - Ebene
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Ebene - Ebene

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Djinndrache aktiv_icon

17:56 Uhr, 26.11.2010

ℝ^{n}

haben Punkte und Vektoren

n

Komponente. Demnach wäre zum Beispiel

x \in ℝ^{n} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix})

.

Die Definition von Geraden ist für das ganze

ℝ^{n}

doch eindeutig: Eine Gerade geht durch zwei Punkte und es gibt nur genau eine Gerade, die durch diese zwei Punkte geht (Den Beweis schenk ich mir an dieser Stelle; ich verweise dafür nur auf LADS1-Vorlesungen). Analog dazu wird eine Ebene stets durch 3 Punkte definiert.

Du kennst wahrscheinlich die Parameterdarstellung einer Geraden im

ℝ^{2} :

L \in ℝ^{2} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}); \forall x, y \in ℝ^{2}; λ \in ℝ

Wahrscheinlich hast du auch im

ℝ^{3}

schon Geraden gehabt (sonst könntest du keine Ebenen kennen, da es im

ℝ^{2}

keine Ebenen gibt (bzw. genauer gesagt nur eine ;-)

)) :

L \in ℝ^{3} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}); \forall x, y \in ℝ^{3}; λ \in ℝ

Analog dazu kannst du doch die Gerade auf

ℝ^{4}

erweitern:

L \in ℝ^{4} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{matrix}); \forall x, y \in ℝ^{4}; λ \in ℝ

Analog lässt sich das genauso für Ebenen machen, denk einfach an die Parameterform einer Ebene im

ℝ^{3} :

E \in ℝ^{3} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}) + ν (\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{matrix}); \forall x, y, z \in ℝ^{3}; μ, ν \in ℝ

Auch hier musst du nur wieder die Darstellung der Punkte auf

ℝ^{4}

anpassen:

E \in ℝ^{4} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{matrix}) + ν (\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \\ z_{4} \end{matrix}); \forall x, y, z \in ℝ^{4}; μ, ν \in ℝ

Und die Lagebeziehungen sind doch in allen Dimensionen gleich. Was kann passieren mit zwei Geraden?

a)

sie schneiden sich

b)

sie sind (echt) parallel

c)

sie sind identisch

d)

sie sind windschief

Das lässt sich im

ℝ^{4}

genauso feststellen, wie im

ℝ^{3},

das sollte dir bekannt sein.

Scholle11 aktiv_icon

11:37 Uhr, 27.11.2010

vielen dank für die antwort, hat mir schon sehr weitergeholfen..
die parameterdarstellungen und das feststellen von den lagebeziehungen im R³ kenne ich natürlich. und das man einfach eine vierte koordinate hinzufügt habe ich schon vermutet. allerdings habe ich bisher häufig im internet gelesen, dass die vierte koordinate die zeit ist. stimmt das?

Djinndrache aktiv_icon

14:54 Uhr, 27.11.2010

Ich bin kein Physiker, aber ich denke die werden dir den Bären aufgebunden haben. Es kann durchaus sein, dass in der Physik irgendwelche Vektoren zusätzlich von der Zeit abhängen, die man dann aus irgendwelchen Gründen in den Vektor als neue Dimension einbaut, aber da überfragst du mich.

Mathematisch gesehn kannst du einen n-dimensionalen Vektor (oder Punkt) haben. Die Vektoren sind dabei nicht genau benannt. Im 3-dimensionalen nennt man es gerne "Höhe, Tiefe, Breite", einfach um sich das ganze bildlich vorstellen zu können. Wenn man sich das ganze im

ℝ^{3}

nicht einmal vorstellen könnte, würde es noch viel schwerer fallen im

ℝ^{n}

zu arbeiten.

In der Mathematik würd ich jedenfalls keine Dimension von

ℝ^{n}

mit irgendeinem festen Begriff assoziieren, das sind alles nur "Spezialfälle" zur Veranschaulichung.
Selbst das Koordinatensystem, das du kennst, ist nur ein einziger Spezialfall für die Veranschaulichung, nämlich das kartesische Koordinatensystem. Es ist einfach durch 2 (bzw 3 im

ℝ^{3})

orthogonale Einheitsvektoren aufgespannt, nämlich

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) & (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

. Man könnte aber genausogut aus jeden anderen 3 (linear unabhängigen) Vektoren ein dreidimensionales Koordinatensystem aufspannen. Nur dann wird es erst richtig unübersichtlich, da die meisten Regeln die du bisher kennst, wahrscheinlich nur auf das kartesische Koordinatensystem anwendbar sind (mit einheitlichen Längen und rechten Winkeln etc.)

Wenn man die Mathematik abstrakt betrachtet, sieht alles ein wenig anders (komplizierter) aus, aber das kommt wahrscheinlich erst im Studium so richtig zur Geltung.

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